Anlık hız hesaplama nasıl? Test 2

Bir cisim düzgün hızlanan hareket yapmaktadır. t anındaki anlık hız için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Her zaman ortalama hıza eşittir
B) Yalnızca konum fonksiyonunun türevi alınarak bulunur
C) Yalnızca ivme-zaman grafiğinin altındaki alandan bulunur
D) Hem konum fonksiyonunun türevinden hem de ivme-zaman grafiğinin altındaki alandan bulunabilir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, düzgün hızlanan hareket yapan bir cismin t anındaki anlık hızını nasıl bulabileceğimizi inceliyoruz. Anlık hız, bir cismin belirli bir anda sahip olduğu hızdır. Şimdi seçenekleri adım adım değerlendirelim:

• A) Her zaman ortalama hıza eşittir

  Bu ifade doğru değildir. Ortalama hız, belirli bir zaman aralığındaki toplam yer değiştirmenin o zaman aralığına bölümüdür. Anlık hız ise, o anki hızdır. Düzgün hızlanan harekette, cismin hızı sürekli değiştiği için anlık hız genellikle ortalama hıza eşit olmaz. Sadece özel durumlarda (örneğin, zaman aralığının orta noktasındaki anlık hız, o aralıktaki ortalama hıza eşit olabilir) bu durum geçerlidir, ancak "her zaman" ifadesi yanlıştır.

• B) Yalnızca konum fonksiyonunun türevi alınarak bulunur

  Anlık hızın temel tanımı, konum fonksiyonunun zamana göre türevidir. Yani, eğer bir cismin konum fonksiyonu $x(t)$ ise, anlık hızı $v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$ formülüyle bulunur. Bu ifade doğru bir yöntemdir. Ancak, "yalnızca" kelimesi, başka yöntemlerin olup olmadığını sorgulatır.

• C) Yalnızca ivme-zaman grafiğinin altındaki alandan bulunur

  İvme-zaman grafiğinin altındaki alan, hızdaki değişimi ($\Delta v$) verir. Yani, $\Delta v = v_s - v_i = \int_{t_i}^{t_s} a(t) dt$. Burada $v_s$ son hız, $v_i$ ise ilk hızdır. Dolayısıyla, ivme-zaman grafiğinin altındaki alan bize doğrudan anlık hızı değil, hızdaki değişimi verir. Anlık hızı bulmak için bu değişime başlangıçtaki hızı eklememiz gerekir: $v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(\tau) d\tau$. Bu nedenle, "yalnızca" ivme-zaman grafiğinin altındaki alandan bulunabilir ifadesi eksik ve yanlıştır.

• D) Hem konum fonksiyonunun türevinden hem de ivme-zaman grafiğinin altındaki alandan bulunabilir

  Bu seçenek, diğer seçeneklerdeki doğru bilgileri bir araya getirir ve eksiklikleri giderir.

  • Birincisi, anlık hız, konum fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak bulunur: $v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$. Bu, hızın temel tanımıdır ve her zaman geçerlidir.
  • İkincisi, ivme-zaman grafiğinin altındaki alan, hızdaki değişimi verir. Eğer başlangıçtaki hızı ($v_0$) biliyorsak, $t$ anındaki anlık hızı, başlangıç hızına ivme-zaman grafiğinin $t_0$ anından $t$ anına kadar olan altındaki alanı ekleyerek bulabiliriz: $v(t) = v_0 + \text{Alan(a-t grafiği)}$. Bu da anlık hızı bulmak için geçerli bir yöntemdir.

  Dolayısıyla, anlık hızı bulmak için hem konum fonksiyonunun türevini alma yöntemini hem de ivme-zaman grafiğinin altındaki alanı (başlangıç hızıyla birlikte) kullanma yöntemini uygulayabiliriz.

Cevap D seçeneğidir.