Bir marangoz, alanı 72 m² olan dikdörtgen şeklinde bir masa yapacaktır. Kenar uzunlukları metre cinsinden tam sayı olduğuna göre, bu masanın çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 34
B) 36
C) 44
D) 48
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgenin alanı ve kenar uzunluklarının tam sayı olma koşulu verilmiş. Bizden, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun hangisi olamayacağını bulmamız isteniyor. Haydi, adım adım bu problemi çözelim!
- Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyelim.
- Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Masanın alanı $72 \text{ m}^2$ olduğuna göre, kenar uzunlukları (diyelim ki $a$ ve $b$) çarpımı $72$ olmalıdır: $a \times b = 72$.
- Soruda kenar uzunluklarının metre cinsinden tam sayı olduğu belirtilmiş. Bu durumda, $72$'nin tüm tam sayı çarpan çiftlerini bulmamız gerekiyor. Bu çarpan çiftleri, masanın olası kenar uzunluklarını temsil eder.
- $72$'nin çarpan çiftleri şunlardır:
- $1 \times 72 = 72$
- $2 \times 36 = 72$
- $3 \times 24 = 72$
- $4 \times 18 = 72$
- $6 \times 12 = 72$
- $8 \times 9 = 72$
- Adım 2: Her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım.
- Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, kenar uzunluklarının toplamının iki katına eşittir: $P = 2 \times (a + b)$.
- Şimdi, bulduğumuz her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım:
- Kenarlar $1 \text{ m}$ ve $72 \text{ m}$ ise: Çevre $= 2 \times (1 + 72) = 2 \times 73 = 146 \text{ m}$.
- Kenarlar $2 \text{ m}$ ve $36 \text{ m}$ ise: Çevre $= 2 \times (2 + 36) = 2 \times 38 = 76 \text{ m}$.
- Kenarlar $3 \text{ m}$ ve $24 \text{ m}$ ise: Çevre $= 2 \times (3 + 24) = 2 \times 27 = 54 \text{ m}$.
- Kenarlar $4 \text{ m}$ ve $18 \text{ m}$ ise: Çevre $= 2 \times (4 + 18) = 2 \times 22 = 44 \text{ m}$.
- Kenarlar $6 \text{ m}$ ve $12 \text{ m}$ ise: Çevre $= 2 \times (6 + 12) = 2 \times 18 = 36 \text{ m}$.
- Kenarlar $8 \text{ m}$ ve $9 \text{ m}$ ise: Çevre $= 2 \times (8 + 9) = 2 \times 17 = 34 \text{ m}$.
- Adım 3: Hesapladığımız çevre uzunluklarını seçeneklerle karşılaştıralım.
- Hesapladığımız olası çevre uzunlukları şunlardır: $146, 76, 54, 44, 36, 34$.
- Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $34$: Bu çevre uzunluğu, kenarları $8 \text{ m}$ ve $9 \text{ m}$ olan bir masa için mümkündür.
- B) $36$: Bu çevre uzunluğu, kenarları $6 \text{ m}$ ve $12 \text{ m}$ olan bir masa için mümkündür.
- C) $44$: Bu çevre uzunluğu, kenarları $4 \text{ m}$ ve $18 \text{ m}$ olan bir masa için mümkündür.
- D) $48$: Hesapladığımız olası çevre uzunlukları arasında $48$ yoktur. Bu nedenle, $48 \text{ m}$ çevre uzunluğuna sahip, alanı $72 \text{ m}^2$ ve kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgen masa yapılamaz.
Gördüğünüz gibi, tüm olası durumları inceleyerek doğru cevabı bulduk. Matematikte bu tür problemleri çözerken tüm olasılıkları göz önünde bulundurmak çok önemlidir!
Cevap D seçeneğidir.
