A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 elemanı bulunmaz?
A) 8
B) 16
C) 24
D) 32
Bu soruda, belirli bir elemanı içermeyen alt küme sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Verilen Kümeyi Tanıyalım
Öncelikle bize verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir. Bu kümenin eleman sayısı $n(A) = 5$'tir.
Adım 2: İstenen Durumu Anlayalım
Soruda bizden, $A$ kümesinin 3 elemanını bulunmayan alt kümelerinin sayısı isteniyor. Bu ne demek? Demek ki, alt kümelerimizi oluştururken 3 elemanını kesinlikle kullanmayacağız.
Adım 3: Yeni Bir Küme Oluşturalım
Eğer 3 elemanını alt kümelerde kullanmayacaksak, o zaman 3 elemanını $A$ kümesinden çıkararak yeni bir küme düşünebiliriz. Bu yeni kümeye $A'$ diyelim:
$A' = A \setminus \{3\} = \{1, 2, 4, 5\}$
Adım 4: Yeni Kümenin Eleman Sayısını Bulalım
Oluşturduğumuz yeni küme $A' = \{1, 2, 4, 5\}$'tir. Bu kümenin eleman sayısı $n(A') = 4$'tür.
Adım 5: Alt Küme Sayısı Formülünü Hatırlayalım
Bir kümenin eleman sayısı $k$ ise, o kümenin toplam $2^k$ tane alt kümesi vardır.
Adım 6: Formülü Uygulayalım
Bizim yeni kümemiz $A'$'nin eleman sayısı $n(A') = 4$'tür. O halde, $A'$ kümesinin alt küme sayısı $2^{n(A')} = 2^4$ olacaktır.
Adım 7: Sonucu Hesaplayalım
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$'dır.
Bu 16 alt küme, $A$ kümesinin 3 elemanını içermeyen tüm alt kümeleridir.
