Alt Küme Nedir? Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur? Test 2

6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

A) 12
B) 15
C) 18
D) 20

Bu soruda, 6 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümeler oluşturmamız isteniyor. Bu tür sorular, kombinasyon konusuna girer. Kombinasyon, bir kümeden belirli sayıda elemanı, sıralama önemli olmaksızın seçme işlemidir.

• Adım 1: Soruyu Anlamak

• Soru bize 6 farklı elemanın olduğu bir küme veriyor. Bu kümeden, içinde 2 eleman bulunan kaç farklı grup (alt küme) oluşturabileceğimizi soruyor. Burada elemanların sırası önemli değildir. Örneğin, $\{A, B\}$ alt kümesi ile $\{B, A\}$ alt kümesi aynı kabul edilir. Bu yüzden kombinasyon kullanacağız.

• Adım 2: Kombinasyon Formülünü Hatırlamak

• $n$ elemanlı bir kümeden $k$ elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için kullanılan kombinasyon formülü şöyledir:

  $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  Burada:

  $n$: Kümenin toplam eleman sayısı (bizim sorumuzda 6).

  $k$: Oluşturmak istediğimiz alt kümenin eleman sayısı (bizim sorumuzda 2).

  $!$: Faktöriyel işareti. Bir sayının faktöriyeli, o sayıdan 1'e kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır (örneğin, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$).

• Adım 3: Değerleri Formülde Yerine Koymak

• Sorumuzda $n=6$ ve $k=2$ olduğu için, formülü şu şekilde yazarız:

  $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!}$

  $C(6, 2) = \frac{6!}{2!4!}$

• Adım 4: Faktöriyelleri Hesaplamak ve Sadeleştirmek

• Şimdi faktöriyelleri açalım:

  $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

  $2! = 2 \times 1 = 2$

  $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

  Bu değerleri formüle yerleştirelim:

  $C(6, 2) = \frac{720}{2 \times 24}$

  $C(6, 2) = \frac{720}{48}$

  Veya daha kolay sadeleştirme için, $6!$ ifadesini $4!$ cinsinden yazabiliriz:

  $C(6, 2) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2! \times 4!}$

  Burada pay ve paydadaki $4!$ ifadelerini sadeleştirebiliriz:

  $C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2!}$

  $C(6, 2) = \frac{30}{2}$

• Adım 5: Sonucu Bulmak

• Hesaplamayı tamamladığımızda:

  $C(6, 2) = 15$

  Yani, 6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 farklı alt kümesi vardır.

Cevap B seçeneğidir.