Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgenin çevresi verilmiş ve alanının en fazla kaç olabileceği soruluyor. Bu tür problemler, geometrik şekillerin özelliklerini anlamamızı sağlar. Gelin, bu heyecan verici problemi adım adım, dikkatlice çözelim:
- 1. Dikdörtgenin Temel Formüllerini Hatırlayalım:
Bir dikdörtgenin kısa kenarına $a$ ve uzun kenarına $b$ diyelim.
Çevre (Ç) formülü: $Ç = 2 \times (a + b)$
Alan (A) formülü: $A = a \times b$
- 2. Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım:
Soruda bize çevrenin 40 cm olduğu verilmiş. Bu bilgiyi çevre formülünde yerine yazalım:
$2 \times (a + b) = 40$ cm
Şimdi eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim:
$a + b = 20$ cm
Bu bize kısa kenar ile uzun kenarın toplamının 20 cm olduğunu gösteriyor. Bu bilgi, alanı bulmak için çok önemli bir ipucu!
- 3. Alanı Tek Bir Değişken Cinsinden İfade Edelim ve Maksimum Değeri Bulalım:
Amacımız alanı ($A = a \times b$) en büyük yapmak. $a + b = 20$ eşitliğinden $b = 20 - a$ yazabiliriz.
Şimdi bu $b$ değerini alan formülünde yerine koyalım:
$A = a \times (20 - a)$
$A = 20a - a^2$
Bu ifade, bir parabol denklemini temsil eder ($A = -a^2 + 20a$). Bir parabolün tepe noktası, onun en büyük veya en küçük değerini verir. Bizim durumumuzda, $a^2$ teriminin katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası en büyük değeri verir.
Tepe noktasının $a$ koordinatını bulmak için $a = \frac{-B}{2A}$ formülünü kullanırız (burada $A = -1$ ve $B = 20$ dir):
$a = \frac{-20}{2 \times (-1)} = \frac{-20}{-2} = 10$ cm.
Demek ki, alanın en büyük olması için kısa kenar $a = 10$ cm olmalıdır.
- 4. Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:
$a = 10$ cm bulduğumuza göre, $a + b = 20$ denkleminde yerine yazalım:
$10 + b = 20$
$b = 20 - 10$
$b = 10$ cm.
Gördüğümüz gibi, kısa kenar ($a$) ve uzun kenar ($b$) birbirine eşit çıktı ($a = b = 10$ cm). Bu ne anlama geliyor? Bu, dikdörtgenimizin aslında bir kare olduğunu gösterir! Geometride önemli bir kural şudur: Sabit bir çevreye sahip tüm dikdörtgenler arasında, alanı en büyük olan şekil karedir.
- 5. Maksimum Alanı Hesaplayalım:
Kenar uzunlukları $a = 10$ cm ve $b = 10$ cm olduğuna göre, şimdi maksimum alanı kolayca hesaplayabiliriz:
$A = a \times b = 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$.
Harika bir iş çıkardık! Çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla 100 cm² olabilir.
Cevap A seçeneğidir.
