10. Sınıf Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları Test 2

Bir üçgenin köşe noktaları A(a,2a), B(2a,3a) ve C(3a,4a) şeklindedir. Bu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları (8,12) olduğuna göre, a kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir üçgenin köşe noktaları bilindiğinde ağırlık merkezinin koordinatlarını nasıl bulacağımızı ve bu bilgiyi kullanarak bilinmeyen bir değeri nasıl çözeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Üçgenin Köşe Noktalarını Belirleyelim

Üçgenimizin köşe noktaları bize şu şekilde verilmiş:

• $A(x_1, y_1) = (a, 2a)$
• $B(x_2, y_2) = (2a, 3a)$
• $C(x_3, y_3) = (3a, 4a)$
• Adım 2: Ağırlık Merkezi (Centroid) Formülünü Hatırlayalım

Bir üçgenin ağırlık merkezi, köşe noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Eğer üçgenin köşe noktaları $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ ve $(x_3, y_3)$ ise, ağırlık merkezi $G(G_x, G_y)$ şu formüllerle hesaplanır:

• $G_x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
• $G_y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
• Adım 3: Köşe Noktalarının Koordinatlarını Formülde Yerine Koyalım

Şimdi, bize verilen köşe noktalarının $x$ ve $y$ koordinatlarını ağırlık merkezi formüllerine yerleştirelim:

• $G_x = \frac{a + 2a + 3a}{3}$
• $G_y = \frac{2a + 3a + 4a}{3}$
• Adım 4: Ağırlık Merkezi Koordinatlarını 'a' Cinsinden Hesaplayalım

Denklemleri basitleştirelim:

• $G_x = \frac{6a}{3} = 2a$
• $G_y = \frac{9a}{3} = 3a$

Yani, üçgenimizin ağırlık merkezi $G(2a, 3a)$ şeklindedir.

• Adım 5: Bulduğumuz Ağırlık Merkezini Verilen Değerle Eşitleyelim

Soruda bize üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları $(8,12)$ olarak verilmişti. Bu durumda, bulduğumuz $G(2a, 3a)$ ifadesini $(8,12)$ ile eşitleyebiliriz:

• $G_x = 2a = 8$
• $G_y = 3a = 12$
• Adım 6: 'a' Değerini Bulalım

Şimdi, elde ettiğimiz bu iki basit denklemden $a$ değerini çözelim:

• İlk denklemden: $2a = 8 \implies a = \frac{8}{2} \implies a = 4$
• İkinci denklemden: $3a = 12 \implies a = \frac{12}{3} \implies a = 4$

Gördüğünüz gibi, her iki denklemden de aynı $a$ değerini elde ettik. Bu da çözümümüzün doğruluğunu gösterir.

Böylece, $a$ değerini $4$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.