🎓 Bağımlı ve bağımsız olaylarda çarpma kuralı Test 2 - Ders Notu
Bu ders notu, "Bağımlı ve bağımsız olaylarda çarpma kuralı Test 2" testinde karşılaşabileceğin temel olasılık kavramlarını, bağımlı ve bağımsız olayları ve bu olaylar için çarpma kuralının nasıl uygulandığını sade bir dille açıklar.
📌 Olasılık Nedir?
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının matematiksel bir ölçüsüdür. Genellikle $0$ ile $1$ arasında bir değer alır.
- $P(A) = 0$ ise olay imkansızdır.
- $P(A) = 1$ ise olay kesindir.
- Genel formülü: $P(A) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}$
💡 İpucu: Olasılık hesaplarken, tüm olası durumların her birinin eşit şansa sahip olduğundan emin olmalısın.
📌 Bağımsız Olaylar
Bağımsız olaylar, birinin gerçekleşmesinin diğerinin gerçekleşme olasılığını hiçbir şekilde etkilemediği olaylardır.
- Örnek: Bir madeni parayı iki kez atmak. İlk atışın yazı gelmesi, ikinci atışın yazı veya tura gelme olasılığını değiştirmez.
- Örnek: Bir torbadan bir top çekip geri koyduktan sonra ikinci bir top çekmek.
- Çarpma Kuralı (Bağımsız Olaylar İçin): A ve B bağımsız olaylar ise, ikisinin de gerçekleşme olasılığı $P(A \text{ ve } B) = P(A) \cdot P(B)$ formülüyle bulunur.
📝 Örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı ($P(A) = \frac{1}{6}$) ve bir madeni para atıldığında tura gelme olasılığı ($P(B) = \frac{1}{2}$) bağımsız olaylardır. İkisinin de aynı anda gerçekleşme olasılığı $P(A \text{ ve } B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$'dir.
📌 Bağımlı Olaylar
Bağımlı olaylar, birinin gerçekleşmesinin diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilediği olaylardır.
- Örnek: Bir torbadan bir top çekip geri koymadan ikinci bir top çekmek. İlk çekilen topun rengi, torbada kalan topların sayısını ve renk dağılımını değiştireceği için ikinci çekilişin olasılığını etkiler.
- Koşullu Olasılık: Bir B olayının, A olayı gerçekleştiğinde ortaya çıkma olasılığı $P(B|A)$ şeklinde gösterilir ve "A olayı gerçekleştiğinde B'nin olasılığı" olarak okunur.
- Çarpma Kuralı (Bağımlı Olaylar İçin): A ve B bağımlı olaylar ise, ikisinin de gerçekleşme olasılığı $P(A \text{ ve } B) = P(A) \cdot P(B|A)$ formülüyle bulunur.
📝 Örnek: Bir torbada 3 kırmızı ve 2 mavi top var. Art arda iki top çekiliyor ve çekilen top geri konmuyor.
- İlk topun kırmızı gelme olasılığı ($P(K_1)$): $\frac{3}{5}$
- İlk top kırmızı geldikten sonra ikinci topun da kırmızı gelme olasılığı ($P(K_2|K_1)$): Torbada 2 kırmızı ve 2 mavi top kaldığı için $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
- İki topun da kırmızı gelme olasılığı: $P(K_1 \text{ ve } K_2) = P(K_1) \cdot P(K_2|K_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$
📌 Çarpma Kuralı Ne Zaman Kullanılır?
Çarpma kuralı, iki veya daha fazla olayın "ard arda" veya "birlikte" gerçekleşme olasılığını hesaplamak istediğinde kullanılır. Soruda genellikle "ve", "ikisinin de", "ard arda", "peş peşe" gibi ifadeler bulunur.
- Eğer olaylar bağımsızsa, her bir olayın olasılığını doğrudan çarparsın.
- Eğer olaylar bağımlıysa, ilk olayın olasılığı ile ikinci olayın ilk olaydan sonraki koşullu olasılığını çarparsın.
⚠️ Dikkat: Sorularda "geri koyma" veya "geri koymama" ifadelerine çok dikkat etmelisin. Bu ifadeler, olayların bağımlı mı yoksa bağımsız mı olacağını belirleyen anahtar noktalardır.
💡 İpucu: "En az bir" ifadesi geçen olasılık sorularında, genellikle tüm durumdan istenmeyen durumun olasılığını çıkarmak daha kolay bir yöntemdir. $P(\text{En az bir}) = 1 - P(\text{Hiçbiri})$
