Fonksiyonlarda öteleme ve simetri Test 2

f(x) = 2x + 1 doğrusunun x = 1 doğrusuna göre simetriği alınıyor. Oluşan yeni fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) -5
B) -3
C) 3
D) 5

• Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriğini almayı ve oluşan yeni fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim.
• Adım 1: Simetri dönüşümünü anlamak.

  Bir $(x, y)$ noktasının $x = k$ doğrusuna göre simetriği alındığında, yeni nokta $(x', y')$ şu şekilde bulunur:

  • $y'$ koordinatı değişmez, yani $y' = y$.
  • $x'$ koordinatı ise $k$ noktasının $x$ ve $x'$ arasında orta nokta olmasını sağlayacak şekilde değişir. Yani $k = \frac{x + x'}{2}$ olur. Buradan $2k = x + x'$ ve dolayısıyla $x' = 2k - x$ elde ederiz.
• Adım 2: Simetri dönüşümünü sorudaki değerlere uygulamak.

  Soruda verilen simetri ekseni $x = 1$ doğrusudur, yani $k = 1$. O halde, $f(x) = 2x + 1$ doğrusu üzerindeki herhangi bir $(x, y)$ noktasının $x = 1$ doğrusuna göre simetriği olan $(x', y')$ noktası için:

  • $x' = 2(1) - x \Rightarrow x' = 2 - x$
  • $y' = y$
• Adım 3: Yeni fonksiyonun denklemini bulmak.

  Orijinal fonksiyonumuz $y = 2x + 1$ idi. Yeni fonksiyonun denklemini bulmak için, $x$ ve $y$ yerine $x'$ ve $y'$ cinsinden ifadelerini yazmalıyız.

  • $y = y'$ olduğunu biliyoruz.
  • $x' = 2 - x$ eşitliğinden $x$'i yalnız bırakırsak, $x = 2 - x'$ elde ederiz.
  • Şimdi bu ifadeleri $y = 2x + 1$ denkleminde yerine yazalım:
  • $y' = 2(2 - x') + 1$
  • $y' = 4 - 2x' + 1$
  • $y' = -2x' + 5$
  • Yeni fonksiyonun denklemi, değişkenleri tekrar $x$ ve $y$ olarak yazarsak, $g(x) = -2x + 5$ olur.
• Adım 4: Yeni fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak.

  Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için $x$ yerine $0$ yazılır. Bu noktanın y koordinatına ordinat denir.

  • Yeni fonksiyonumuz $g(x) = -2x + 5$ idi.
  • $x = 0$ için $g(0) = -2(0) + 5$
  • $g(0) = 0 + 5$
  • $g(0) = 5$
  • Yani, yeni fonksiyon y eksenini $(0, 5)$ noktasında keser. Bu noktanın ordinatı $5$'tir.

Cevap D seçeneğidir.