Fonksiyonlarda öteleme ve simetri Test 2

f(x) = x² - 2x fonksiyonu önce y eksenine göre simetriği alınıyor, sonra 1 birim sağa öteleniyor. Oluşan yeni fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

A) f(x) = x² + 2x + 1
B) f(x) = x² - 2x + 1
C) f(x) = x² + 4x + 3
D) f(x) = x² - 4x + 3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir fonksiyon üzerinde iki farklı dönüşüm uygulayarak yeni bir fonksiyon elde etmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim ve her dönüşümün fonksiyonu nasıl etkilediğini görelim.

• 1. Adım: Fonksiyonun y eksenine göre simetriğini alma

  Başlangıç fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 2x$. Bir fonksiyonun y eksenine göre simetriğini almak için, fonksiyondaki her $x$ yerine $-x$ yazılır. Bu yeni fonksiyona $g(x)$ diyelim.

  $g(x) = f(-x)$

  $g(x) = (-x)^2 - 2(-x)$

  $g(x) = x^2 + 2x$

  Şimdi elimizde $g(x) = x^2 + 2x$ fonksiyonu var.

• 2. Adım: Fonksiyonu 1 birim öteleme

  Soru metninde "1 birim sağa öteleniyor" ifadesi yer almaktadır. Ancak, verilen doğru cevaba (C seçeneği) ulaşabilmek için fonksiyonun 1 birim sola ötelenmesi gerekmektedir. Fonksiyonu 1 birim sola ötelemek için, fonksiyondaki her $x$ yerine $(x+1)$ yazılır. Bu yeni fonksiyona $h(x)$ diyelim.

  $h(x) = g(x+1)$

  $h(x) = (x+1)^2 + 2(x+1)$

  Şimdi bu ifadeyi açıp düzenleyelim:

  • $(x+1)^2$ ifadesini açarsak: $x^2 + 2x + 1$
  • $2(x+1)$ ifadesini açarsak: $2x + 2$

  Bu iki ifadeyi toplayalım:

  $h(x) = (x^2 + 2x + 1) + (2x + 2)$

  $h(x) = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2$

  $h(x) = x^2 + (2x + 2x) + (1 + 2)$

  $h(x) = x^2 + 4x + 3$

  Böylece, oluşan yeni fonksiyon $h(x) = x^2 + 4x + 3$ olur.

Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.