Alt küme sayısı formülü (2ⁿ) Test 2

Bir kümenin eleman sayısı 2 azaltılırsa alt küme sayısı 16'ya düşüyor. Buna göre, başlangıçtaki kümenin alt küme sayısı kaçtır?

A) 32
B) 64
C) 128
D) 256

Bu soruyu çözmek için kümeler ve alt kümeler arasındaki ilişkiyi hatırlayalım. Bir kümenin eleman sayısı ile alt küme sayısı arasındaki bağlantıyı anladığımızda, bu tür soruları kolayca çözebiliriz.

• Adım 1: Başlangıçtaki Kümenin Eleman Sayısını Tanımlama

Başlangıçtaki kümemizin eleman sayısına $n$ diyelim. Bir kümenin $n$ elemanı varsa, alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur. Yani, başlangıçtaki alt küme sayısı $2^n$ olacaktır.

• Adım 2: Eleman Sayısındaki Değişikliği Uygulama

Soruda, kümenin eleman sayısının 2 azaltıldığı belirtiliyor. Bu durumda, yeni eleman sayısı $n-2$ olur.

• Adım 3: Yeni Alt Küme Sayısını Belirleme

Eleman sayısı $n-2$ olan kümenin alt küme sayısı $2^{n-2}$ formülüyle bulunur. Soruda bu yeni alt küme sayısının 16 olduğu verilmiş.

Yani, $2^{n-2} = 16$ eşitliğini kurabiliriz.

• Adım 4: Başlangıçtaki Eleman Sayısını ($n$) Bulma

$2^{n-2} = 16$ denklemini çözmek için 16 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım. Bildiğimiz gibi $16 = 2^4$ tür.

Bu durumda eşitliğimiz $2^{n-2} = 2^4$ şeklini alır.

Tabanlar aynı olduğunda, üsler de eşit olmalıdır. Yani:

$n-2 = 4$

Bu denklemi çözdüğümüzde:

$n = 4 + 2$

$n = 6$

Demek ki, başlangıçtaki kümenin eleman sayısı 6 imiş.

• Adım 5: Başlangıçtaki Alt Küme Sayısını Hesaplama

Başlangıçtaki kümenin eleman sayısı $n=6$ olduğuna göre, başlangıçtaki alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur.

Alt küme sayısı $= 2^6$

$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$

Yani, başlangıçtaki kümenin alt küme sayısı 64'tür.

Cevap B seçeneğidir.