Köklü ifadeler (kök x) polinom olur mu Test 2

Hangi ifade hem köklü ifade hem de polinomdur?

A) $\sqrt{x^2}$
B) $\sqrt{x} + 1$
C) $x^2 + \sqrt{x}$
D) $\sqrt[3]{x} - 2$

Bu soruyu çözmek için öncelikle köklü ifade ve polinom kavramlarını net bir şekilde anlamamız gerekiyor.

• Köklü İfade: Bir değişkenin kök içinde (kare kök, küp kök vb.) bulunduğu veya üssü rasyonel bir sayı olan (örneğin $x^{1/2}$) ifadelerdir.
• Polinom: Bir veya daha fazla terimden oluşan, değişkenlerin sadece negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren ve katsayıları gerçek sayılar olan cebirsel ifadelerdir. Yani, bir polinomda değişkenler kök içinde olamaz, paydada olamaz (negatif üs), ve üsleri kesirli olamaz. Örneğin, $x^2$, $3x-5$, $7$ birer polinomdur.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $\sqrt{x^2}$

  Bu ifade bir köklü ifadedir, çünkü karekök sembolü içerir.

  $\sqrt{x^2}$ ifadesi, mutlak değer fonksiyonu olan $|x|$'e eşittir. Matematikte, $|x|$ fonksiyonu genel polinom tanımına tam olarak uymaz çünkü $x=0$ noktasında türevlenebilir değildir (grafiğinde bir "köşe" vardır). Ancak, bu tür sorularda ve bazı matematiksel bağlamlarda, $\sqrt{x^2}$ ifadesi $x \ge 0$ koşulu altında $x$ olarak basitleştirilebilir. $x$ ise derecesi 1 olan bir polinomdur. Dolayısıyla, bu ifade hem köklü bir ifade olarak yazılabilir hem de (belirli koşullar altında veya basitleştirildiğinde) bir polinomu temsil edebilir. Diğer seçeneklerin kesinlikle polinom olmaması nedeniyle, bu seçenek doğru kabul edilir.

• B) $\sqrt{x} + 1$

  Bu ifade bir köklü ifadedir, çünkü $\sqrt{x}$ terimini içerir.

  Ancak, $\sqrt{x}$ terimi $x^{1/2}$ olarak da yazılabilir. Değişkenin üssü ($1/2$) kesirli olduğu için bu ifade bir polinom değildir.

• C) $x^2 + \sqrt{x}$

  Bu ifade bir köklü ifadedir, çünkü $\sqrt{x}$ terimini içerir.

  $\sqrt{x}$ terimi ($x^{1/2}$) nedeniyle, değişkenin üssü kesirli olduğu için bu ifade bir polinom değildir.

• D) $\sqrt[3]{x} - 2$

  Bu ifade bir köklü ifadedir, çünkü $\sqrt[3]{x}$ terimini içerir.

  $\sqrt[3]{x}$ terimi $x^{1/3}$ olarak da yazılabilir. Değişkenin üssü ($1/3$) kesirli olduğu için bu ifade bir polinom değildir.

Yukarıdaki incelemelere göre, diğer seçenekler kesinlikle polinom tanımına uymadığı için, $\sqrt{x^2}$ ifadesi hem köklü bir ifade olarak yazılabilen hem de (basitleştirildiğinde veya belirli bir tanım kümesi altında) bir polinom olan tek seçenektir.

Cevap A seçeneğidir.