m(x) = |-x + 5| fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Grafik daima artandır
B) Grafik x = -5 noktasında minimum yapar
C) Grafik x = 5 noktasında minimum yapar
D) Grafik orijinden geçer
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer fonksiyonlarının grafik özelliklerini anlamak için harika bir problem çözeceğiz. $m(x) = |-x + 5|$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili doğru ifadeyi bulmak için adım adım ilerleyelim.
- 1. Fonksiyonu Tanıyalım:
- Verilen fonksiyonumuz $m(x) = |-x + 5|$ şeklindedir. Bu bir mutlak değer fonksiyonudur.
- 2. Mutlak Değer Fonksiyonlarının Temel Özellikleri:
- Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri genellikle "V" şeklindedir.
- Mutlak değerin tanımı gereği, bir sayının mutlak değeri asla negatif olamaz. Bu yüzden $m(x) \ge 0$ olacaktır. Yani, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $0$'dır.
- Bu "V" şeklindeki grafiğin sivri ucu (köşesi), fonksiyonun minimum değerini aldığı noktadır. Bu noktada fonksiyonun değeri $0$ olur.
- 3. Minimum Noktasını Bulma:
- Bir mutlak değer fonksiyonunun minimum değeri, mutlak değerin içindeki ifadenin sıfır olduğu noktada gerçekleşir. Çünkü mutlak değerin alabileceği en küçük değer $0$'dır.
- Mutlak değerin içindeki ifadeyi sıfıra eşitleyelim: $-x + 5 = 0$.
- Bu denklemi $x$ için çözelim:
- $5 = x$
- Yani $x = 5$ noktasında mutlak değerin içi sıfır olur.
- Bu $x$ değeri için fonksiyonun değerini bulalım:
- $m(5) = |-5 + 5| = |0| = 0$.
- Dolayısıyla, fonksiyon $x = 5$ noktasında $0$ değerini alarak minimum yapar. Minimum nokta $(5, 0)$'dır.
- 4. Seçenekleri Değerlendirme:
- Şimdi bulduğumuz bu bilgi ışığında seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Grafik daima artandır: Mutlak değer fonksiyonları V şeklinde olduğu için, bir noktaya kadar azalır, o noktadan sonra artar (veya tam tersi). Daima artan değildir. Örneğin, $x=0$ için $m(0) = |-0+5| = |5| = 5$. $x=1$ için $m(1) = |-1+5| = |4| = 4$. $x=0$'dan $x=1$'e giderken fonksiyon değeri $5$'ten $4$'e düşmüştür, yani azalmıştır. Bu ifade yanlıştır.
- B) Grafik $x = -5$ noktasında minimum yapar: Biz minimum noktasını $x = 5$ olarak bulduk. Bu ifade yanlıştır.
- C) Grafik $x = 5$ noktasında minimum yapar: Evet, yukarıdaki analizimizde fonksiyonun $x = 5$ noktasında minimum değer olan $0$'ı aldığını bulduk. Bu ifade doğrudur.
- D) Grafik orijinden geçer: Bir grafik orijinden geçerse, $x = 0$ iken $y = 0$ olmalıdır. Fonksiyonda $x = 0$ yazalım: $m(0) = |-0 + 5| = |5| = 5$. Fonksiyon $x = 0$ iken $y = 5$ değerini alır, yani $(0, 5)$ noktasından geçer, orijinden $(0, 0)$ geçmez. Bu ifade yanlıştır.
Yapılan değerlendirmeler sonucunda C seçeneğinin doğru olduğu görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
