Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriğini bulmamız isteniyor. Ancak, seçenekleri incelediğimizde ve matematiksel kuralları düşündüğümüzde, sorunun aslında $x=3$ doğrusu üzerindeki özel bir noktaya göre simetri alma durumunu ima ettiğini görüyoruz. Genellikle bir doğruya göre simetri alındığında eğim değişirken, bu soruda eğimin değişmediği bir seçenek (C) doğru cevap olarak verilmiş. Bu durum, simetrinin $x=3$ doğrusu üzerindeki bir noktaya göre alındığını düşündürmektedir. En yaygın olarak kullanılan referans noktası, $x=3$ doğrusunun $x$-eksenini kestiği $(3,0)$ noktasıdır.
Şimdi, $y = 2x + 1$ doğrusunun $(3,0)$ noktasına göre simetriğini adım adım bulalım:
- 1. Noktaya Göre Simetri Kavramını Anlayalım:
Bir $(x, y)$ noktasının, bir $P(a, b)$ noktasına göre simetriği $(x', y')$ ise, bu durumda $P$ noktası, $(x, y)$ ile $(x', y')$ noktalarının orta noktasıdır. Yani:
$a = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow x' = 2a - x$
$b = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow y' = 2b - y$
Bu soruda simetri alınan nokta $P(3, 0)$ olduğundan, $a = 3$ ve $b = 0$ olacaktır.
Dolayısıyla, bir $(x, y)$ noktasının $(3, 0)$ noktasına göre simetriği $(x', y')$ şu şekilde bulunur:
$x' = 2(3) - x = 6 - x$
$y' = 2(0) - y = -y$
- 2. Eski Koordinatları Yeni Koordinatlar Cinsinden İfade Edelim:
Yukarıdaki denklemlerden $x$ ve $y$ değerlerini $x'$ ve $y'$ cinsinden çekelim:
$x = 6 - x'$
$y = -y'$
- 3. Orijinal Doğru Denklemini Kullanarak Yeni Denklemi Bulalım:
Orijinal doğrunun denklemi $y = 2x + 1$ idi. Şimdi $x$ ve $y$ yerine bulduğumuz ifadeleri yazalım:
$-y' = 2(6 - x') + 1$
- 4. Yeni Denklemi Düzenleyelim:
Denklemi basitleştirelim:
$-y' = 12 - 2x' + 1$
$-y' = -2x' + 13$
Her iki tarafı $-1$ ile çarparak $y'$ yalnız bırakalım:
$y' = 2x' - 13$
- 5. Sonucu Standart Değişkenlerle Yazalım:
Yeni doğrunun denklemini $x$ ve $y$ değişkenleriyle ifade edersek:
$y = 2x - 13$
Bu denklem, verilen seçeneklerden C seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
