Yayı sıkıştırdığımızda veya gerdiğimizde, yayda esneklik potansiyel enerjisi depolanır. Bu enerji, yayın eski haline dönme isteğinden kaynaklanır. Şimdi bu enerjinin sıkışma miktarıyla nasıl değiştiğini adım adım inceleyelim.
1. Yayda Depolanan Esneklik Potansiyel Enerjisi Formülü:
- Bir yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisi ($U$), yayın sıkışma veya gerilme miktarının ($x$) karesiyle doğru orantılıdır.
- Formülü şöyledir: $U = \frac{1}{2}kx^2$.
- Burada $k$, yayın sertliğini gösteren yay sabiti olup, yaydan yaya değişmeyen sabit bir değerdir. $x$ ise yayın denge konumundan ne kadar sıkıştırıldığı veya gerildiği mesafedir.
2. İlk Durumun Analizi:
- Soruda, yayı denge konumundan $5 \text{ cm}$ sıkıştırdığımızda depolanan enerjinin $E$ kadar olduğu belirtilmiştir.
- Bu durumu formülle ifade edelim: $E = \frac{1}{2}k(5 \text{ cm})^2$.
- Matematiksel olarak düzenlersek: $E = \frac{1}{2}k(25)$. Bu ifadeyi aklımızda tutalım.
3. İkinci Durumun Analizi:
- Şimdi aynı yayı denge konumundan $10 \text{ cm}$ sıkıştırdığımızda depolanan enerjiye $U'$ diyelim.
- Bu durumu da formülle ifade edelim: $U' = \frac{1}{2}k(10 \text{ cm})^2$.
- Matematiksel olarak düzenlersek: $U' = \frac{1}{2}k(100)$.
4. İki Durumu Karşılaştırma ve Sonuca Ulaşma:
- Amacımız, $U'$ enerjisini $E$ cinsinden bulmaktır.
- İlk durumdan biliyoruz ki: $E = \frac{1}{2}k(25)$.
- İkinci durumdan biliyoruz ki: $U' = \frac{1}{2}k(100)$.
- $U'$ ifadesindeki $100$ sayısının, $E$ ifadesindeki $25$ sayısının kaç katı olduğuna bakalım: $100 = 4 \times 25$.
- O zaman $U'$ ifadesini şöyle yazabiliriz: $U' = \frac{1}{2}k(4 \times 25)$.
- Bu ifadeyi yeniden düzenlersek: $U' = 4 \times (\frac{1}{2}k(25))$.
- Parantez içindeki ifade, ilk durumdaki $E$ enerjisine eşit olduğuna göre, $U' = 4E$ sonucunu buluruz.
- Önemli Not: Bu sonuç bize, sıkışma miktarını iki katına çıkardığımızda (5 cm'den 10 cm'ye), depolanan enerjinin dört katına çıktığını gösterir. Bunun nedeni, enerjinin sıkışma miktarının karesiyle ($x^2$) orantılı olmasıdır. Sıkışma 2 katına çıkınca, enerji $2^2 = 4$ katına çıkar.
Cevap D seçeneğidir.
