Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, temel integral alma kurallarını kullanarak bir fonksiyonun integralini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve her bir terimi dikkatlice inceleyelim.
- Adım 1: İntegrali Parçalara Ayırma
- İntegralini almamız istenen ifade bir toplamdan oluştuğu için, integral alma işlemini her bir terim için ayrı ayrı uygulayabiliriz. Yani, $\int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ kuralını kullanacağız.
- Bu durumda, $\int(5/x + 2\sin x)dx = \int (5/x)dx + \int (2\sin x)dx$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: İlk Terimin İntegralini Alma
- İlk terimimiz $5/x$'tir. Sabit bir sayıyı integral dışına alabiliriz: $\int (5/x)dx = 5 \int (1/x)dx$.
- Temel integral kurallarından bildiğimiz üzere, $1/x$'in integrali $\ln|x|$'tir. (Mutlak değer, $x$'in negatif değerler alabileceği durumlarda logaritmanın tanımlı olmasını sağlar.)
- Dolayısıyla, $5 \int (1/x)dx = 5\ln|x|$.
- Adım 3: İkinci Terimin İntegralini Alma
- İkinci terimimiz $2\sin x$'tir. Yine, sabiti integral dışına alalım: $\int (2\sin x)dx = 2 \int \sin x dx$.
- Temel integral kurallarından bildiğimiz üzere, $\sin x$'in integrali $-\cos x$'tir. (Çünkü $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$).
- Dolayısıyla, $2 \int \sin x dx = 2(-\cos x) = -2\cos x$.
- Adım 4: Sonuçları Birleştirme ve Sabit Ekleme
- Şimdi bulduğumuz her iki terimin integralini birleştirelim:
- $\int(5/x + 2\sin x)dx = 5\ln|x| - 2\cos x$.
- Belirsiz integral aldığımız için, her zaman bir integral sabiti $C$ eklemeyi unutmamalıyız. Bu sabit, türevi sıfır olan herhangi bir sayıyı temsil eder.
- Nihai sonucumuz: $5\ln|x| - 2\cos x + C$.
- Adım 5: Seçenekleri Kontrol Etme
- Bulduğumuz bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $5\ln|x| - 2\cos x + C$
- B) $5\ln|x| + 2\cos x + C$
- C) $5\ln|x| - 2\cos x$
- D) $5/x^2 - 2\cos x + C$
- Gördüğümüz gibi, bizim bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
