Bir kenarı 12 cm olan küpün içine, mümkün olan en büyük hacimli dik dairesel koni yerleştiriliyor. Buna göre koninin hacminin küpün hacmine oranı kaçtır?
A) π/12Bu problemde, bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli koninin boyutlarını belirleyip, hacimlerini karşılaştıracağız. Adım adım ilerleyelim:
Bir kenarı $a$ olan küpün hacmi $V_{küp} = a^3$ formülüyle bulunur. Soruda küpün bir kenarı 12 cm olarak verilmiştir.
Buna göre, küpün hacmi:
$V_{küp} = (12 \text{ cm})^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728 \text{ cm}^3$ olur.
Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koni için, koninin tabanı küpün bir yüzeyine tam olarak oturmalı ve koninin yüksekliği küpün yüksekliğine eşit olmalıdır. Bu durumda:
Küpün kenar uzunluğu $a = 12 \text{ cm}$ olduğuna göre:
Bir dik dairesel koninin hacmi $V_{koni} = rac{1}{3} \pi r^2 h$ formülüyle bulunur. Bulduğumuz $r$ ve $h$ değerlerini yerine yazalım:
$V_{koni} = rac{1}{3} \pi (6 \text{ cm})^2 (12 \text{ cm})$
$V_{koni} = rac{1}{3} \pi (36 \text{ cm}^2) (12 \text{ cm})$
$V_{koni} = rac{1}{3} \pi (432 \text{ cm}^3)$
$V_{koni} = 144\pi \text{ cm}^3$ olur.
Şimdi koninin hacmini küpün hacmine oranlayalım:
Oran = $ rac{V_{koni}}{V_{küp}} = rac{144\pi \text{ cm}^3}{1728 \text{ cm}^3}$
Bu oranı sadeleştirelim. Hem 144 hem de 1728, 144'e bölünebilir. ($1728 = 12 \times 144$)
Oran = $ rac{144\pi}{12 \times 144}$
Oran = $ rac{\pi}{12}$
Bu sonuç, seçeneklerdeki A şıkkına karşılık gelmektedir.
Cevap A seçeneğidir.