6. sınıf matematik dikme / paralel doğrular etkinlik / çalışma kağıdı Test 2

Koordinat düzleminde \(d_1: 2x + 3y - 6 = 0\) ve \(d_2: 4x + 6y + 5 = 0\) doğruları veriliyor. Bu doğruların birbirine göre durumu nedir?

A) Dik kesişir
B) Paraleldir
C) Çakışıktır
D) Kesişir ama dik değildir

Bu soruda, koordinat düzleminde verilen iki doğrunun birbirine göre durumunu inceleyeceğiz. İki doğrunun birbirine göre durumu, eğimlerinin ve denklemlerindeki katsayıların oranlarının karşılaştırılmasıyla belirlenir. Genel formdaki bir doğru denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklindedir.

• Adım 1: Doğruların Eğimlerini Bulma

  Bir doğrunun genel denklemi $Ax + By + C = 0$ olduğunda, bu doğrunun eğimi $m = -\frac{A}{B}$ formülüyle bulunur. Şimdi verilen doğruların eğimlerini hesaplayalım:

  $d_1: 2x + 3y - 6 = 0$ doğrusu için:

  Burada $A_1 = 2$ ve $B_1 = 3$'tür.

  Eğim $m_1 = -\frac{A_1}{B_1} = -\frac{2}{3}$ olur.

  $d_2: 4x + 6y + 5 = 0$ doğrusu için:

  Burada $A_2 = 4$ ve $B_2 = 6$'dır.

  Eğim $m_2 = -\frac{A_2}{B_2} = -\frac{4}{6}$ olur. Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde $m_2 = -\frac{2}{3}$ buluruz.

• Adım 2: Eğimleri Karşılaştırma ve İlk Değerlendirme

  Gördüğümüz gibi, her iki doğrunun eğimi de aynıdır: $m_1 = -\frac{2}{3}$ ve $m_2 = -\frac{2}{3}$.

  İki doğrunun eğimleri eşitse, bu doğrular ya paraleldir ya da çakışıktır (yani aynı doğru üzerindedirler).

• Adım 3: Doğruların Çakışık Olup Olmadığını Kontrol Etme

  Doğruların çakışık olup olmadığını anlamak için, denklemlerindeki tüm katsayıların oranlarını karşılaştırmamız gerekir. Eğer $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ ise doğrular çakışıktır. Eğer $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ ise doğrular paraleldir.

  Katsayı oranlarını inceleyelim:

  $d_1$ doğrusu için $A_1 = 2$, $B_1 = 3$, $C_1 = -6$

  $d_2$ doğrusu için $A_2 = 4$, $B_2 = 6$, $C_2 = 5$

  $A$ katsayılarının oranı: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

  $B$ katsayılarının oranı: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

  $C$ katsayılarının oranı: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-6}{5}$

  Gördüğümüz gibi, $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{2}$ iken, $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-6}{5}$ oranı bunlardan farklıdır. Yani $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ durumu söz konusudur.

• Adım 4: Sonuç

  Eğimleri eşit olduğu ve katsayı oranları $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ koşulunu sağladığı için, bu iki doğru paraleldir.

Cevap B seçeneğidir.