\(d_1: y = \frac{2}{5}x - 3\) doğrusuna paralel ve A(10,1) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(y = \frac{2}{5}x - 3\)Doğru denklemleri konusundaki bu soruyu adım adım çözelim. Amacımız, verilen bir doğruya paralel olan ve belirli bir noktadan geçen yeni bir doğrunun denklemini bulmak.
İki doğru birbirine paralelse, eğimleri (yani $m$ değerleri) birbirine eşittir. Bize verilen doğru $d_1: y = \frac{2}{5}x - 3$ şeklindedir. Bu denklem, $y = mx + b$ genel doğru denklemi formundadır. Burada $m$ doğrunun eğimini, $b$ ise y eksenini kestiği noktayı (y-kesenini) temsil eder.
Verilen $d_1$ doğrusunun eğimi $m_1 = \frac{2}{5}$'tir.
Aradığımız yeni doğru, $d_1$ doğrusuna paralel olduğu için, onun da eğimi aynı olmalıdır. Yani, yeni doğrumuzun eğimi $m_2 = \frac{2}{5}$ olacaktır.
Yeni doğrumuzun eğimini ($m = \frac{2}{5}$) ve geçtiği noktayı $A(10,1)$ biliyoruz. Şimdi bu bilgileri kullanarak doğrunun denklemini bulabiliriz. Doğru denklemini $y = mx + b$ şeklinde arayalım.
Eğimi yerine yazarsak, yeni doğrunun denklemi şimdilik $y = \frac{2}{5}x + b$ şeklindedir.
Şimdi $b$ değerini bulmak için, doğrunun geçtiği $A(10,1)$ noktasını bu denkleme yerleştirelim. Yani $x=10$ ve $y=1$ değerlerini kullanacağız:
$1 = \frac{2}{5}(10) + b$
Denklemdeki çarpma işlemini yapalım:
$1 = \frac{2 \times 10}{5} + b$
$1 = \frac{20}{5} + b$
$1 = 4 + b$
$b$ değerini yalnız bırakmak için 4'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:
$1 - 4 = b$
$b = -3$
Bulduğumuz eğim ($m = \frac{2}{5}$) ve y-keseni ($b = -3$) değerlerini $y = mx + b$ genel denkleminde yerine yazarak aradığımız doğrunun denklemini elde ederiz:
$y = \frac{2}{5}x - 3$
Bu sonuç, $A(10,1)$ noktasının aslında başlangıçtaki $d_1$ doğrusunun üzerinde olduğunu gösterir. Bir doğruya paralel olan ve o doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen doğru, o doğrunun kendisidir.
Bulduğumuz denklem $y = \frac{2}{5}x - 3$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, bu denklemin A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
