9. Sınıf Üslü gösterimleri verilen sayıların sıralanması nedir? Test 2

\( a = 27^4 \), \( b = 9^6 \), \( c = 3^{12} \) sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) a < b < c
B) b < a < c
C) c < b < a
D) a = b = c

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, üslü sayılarla verilen üç sayıyı karşılaştırmamız isteniyor. Sayıları karşılaştırırken en etkili yöntemlerden biri, ya tabanlarını ya da üslerini aynı hale getirmektir. Burada, tüm sayıların tabanlarının 3'ün kuvvetleri olduğunu fark edebiliriz. Bu, işimizi oldukça kolaylaştıracak!

• Adım 1: Sayıları inceleyelim ve ortak tabanı belirleyelim.

  Verilen sayılar:

  • $a = 27^4$
  • $b = 9^6$
  • $c = 3^{12}$

  Görüyoruz ki 27 ve 9 sayıları, 3'ün kuvvetleri olarak yazılabilir:

  • $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$
  • $9 = 3 \times 3 = 3^2$

  Ortak taban olarak 3'ü kullanmak en mantıklı yol olacaktır.

• Adım 2: $a$ sayısını 3 tabanında yazalım.

  $a = 27^4$ ifadesinde $27$ yerine $3^3$ yazalım:

  $a = (3^3)^4$

  Üslü sayılarda bir sayının üssünün üssü alındığında, üsler çarpılır. Yani $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ kuralını uygulayalım:

  $a = 3^{3 \cdot 4}$

  $a = 3^{12}$

• Adım 3: $b$ sayısını 3 tabanında yazalım.

  $b = 9^6$ ifadesinde $9$ yerine $3^2$ yazalım:

  $b = (3^2)^6$

  Yine aynı kuralı, $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ uygulayalım:

  $b = 3^{2 \cdot 6}$

  $b = 3^{12}$

• Adım 4: $c$ sayısını kontrol edelim.

  $c = 3^{12}$ sayısı zaten 3 tabanında verilmiş. Herhangi bir dönüşüm yapmamıza gerek yok.

• Adım 5: Tüm sayıları karşılaştıralım.

  Şimdi tüm sayıları 3 tabanında ve aynı formatta yazdık:

  • $a = 3^{12}$
  • $b = 3^{12}$
  • $c = 3^{12}$

  Gördüğümüz gibi, her üç sayı da $3^{12}$ değerine eşittir. Bu durumda, $a$, $b$ ve $c$ sayıları birbirine eşittir.

  $a = b = c$

Bu sonuç, seçeneklerdeki D şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap D seçeneğidir.