10. Sınıf Koşullu Olasılık Nedir? Test 2

Bir para iki kez atılıyor. En az bir tura geldiği bilindiğine göre, iki atışın da tura gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/4
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3

Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamız için harika bir örnek. Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığını bulmak demektir. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• Adım 1: Tüm Olası Durumları Belirleyelim

Bir parayı iki kez attığımızda karşımıza çıkabilecek tüm sonuçları listeleyelim. Her atışta ya Yazı (Y) ya da Tura (T) gelir. İşte tüm olası 4 durum:

Yazı - Yazı (YY)

Yazı - Tura (YT)

Tura - Yazı (TY)

Tura - Tura (TT)

Bu 4 durumun her birinin gerçekleşme olasılığı eşittir ve $rac{1}{4}$'tür.

• Adım 2: Bilinen Olayı (Koşulu) Tanımlayalım

Soruda bize "En az bir tura geldiği bilindiğine göre" deniyor. Bu, bizim koşulumuzdur. Bu olaya B olayı diyelim.

B olayının gerçekleştiği durumlar şunlardır:

Yazı - Tura (YT)

Tura - Yazı (TY)

Tura - Tura (TT)

Gördüğünüz gibi, B olayının gerçekleştiği 3 durum vardır.

• Adım 3: İstenen Olayı Tanımlayalım

Bizden istenen ise "iki atışın da tura gelme olasılığı"dır. Bu olaya A olayı diyelim.

A olayının gerçekleştiği durum şudur:

Tura - Tura (TT)

Gördüğünüz gibi, A olayının gerçekleştiği 1 durum vardır.

• Adım 4: Koşullu Olasılık Formülünü Uygulayalım

Koşullu olasılık formülü şöyledir: $P(A|B) = rac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Burada:

$P(A|B)$: B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı (yani aradığımız şey).

$P(A \cap B)$: Hem A hem de B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı.

$P(B)$: B olayının gerçekleşme olasılığı.

• Adım 5: Olasılıkları Hesaplayalım

$P(B)$'yi hesaplayalım: B olayı (en az bir tura gelmesi) 4 olası durumdan 3'ünde gerçekleşir (YT, TY, TT).

Dolayısıyla, $P(B) = rac{\text{B olayının gerçekleştiği durum sayısı}}{\text{Tüm olası durum sayısı}} = rac{3}{4}$.

$P(A \cap B)$'yi hesaplayalım: Hem A hem de B olayının birlikte gerçekleşmesi demek, "iki atışın da tura gelmesi" (A) VE "en az bir tura gelmesi" (B) demektir. Eğer iki atış da turaysa (TT), zaten en az bir tura gelmiş demektir. Yani $A \cap B$ olayı, A olayının kendisidir (TT).

Bu durum 4 olası durumdan 1'inde gerçekleşir (TT).

Dolayısıyla, $P(A \cap B) = rac{\text{A ve B'nin birlikte gerçekleştiği durum sayısı}}{\text{Tüm olası durum sayısı}} = rac{1}{4}$.

• Adım 6: Sonucu Bulalım

Şimdi bu değerleri koşullu olasılık formülüne yerleştirelim:

$P(A|B) = rac{P(A \cap B)}{P(B)} = rac{rac{1}{4}}{rac{3}{4}}$

Kesirleri sadeleştirdiğimizde:

$P(A|B) = rac{1}{3}$

Bu, en az bir tura geldiği bilindiğine göre, iki atışın da tura gelme olasılığının $rac{1}{3}$ olduğu anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.