Bir direğin gölgesi, güneş ışınlarının yerle $45^\circ$ açı yaptığı bir anda 8 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre direğin boyu kaç metredir?
A) $4$Sevgili öğrenciler, bu tür bir problemi çözmek için geometri ve trigonometri bilgilerimizi kullanacağız. Bir direk, gölgesi ve güneş ışınları her zaman bir dik üçgen oluşturur. Şimdi adım adım bu problemi çözelim:
Bir direk yere dik durur. Güneş ışınları direğin tepesinden geçerek yere düşer ve bir gölge oluşturur. Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Bu üçgende:
Direğin boyu, dik üçgenin dikey kenarıdır (aradığımız değer, yani açının karşı kenarı).
Gölgenin uzunluğu, dik üçgenin yatay kenarıdır (açının komşu kenarı).
Güneş ışınları ise dik üçgenin hipotenüsüdür.
Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı, üçgenin yerdeki köşesindeki açıdır.
Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
Gölgenin uzunluğu (komşu kenar) = $8$ metre.
Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı = $45^\circ$.
Direğin boyu (karşı kenar) = Bilinmiyor, buna $h$ diyelim.
Bir dik üçgende, bir açıyı, bu açının komşu kenarını biliyor ve karşı kenarını arıyorsak, tanjant (tan) trigonometrik oranını kullanırız. Tanjant, bir açının karşı kenarının uzunluğunun komşu kenarının uzunluğuna oranıdır:
$\tan(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}}$
Ayrıca, $45^\circ$ özel bir açıdır. Bir dik üçgende açılardan biri $45^\circ$ ise, diğer dar açı da $45^\circ$ olur. Bu tür üçgenlere $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ üçgeni denir ve $45^\circ$'lik açıların karşısındaki kenarlar birbirine eşittir. Bu da bize direğin boyunun gölgenin boyuna eşit olacağını gösterir.
Verilen değerleri tanjant formülüne yerleştirelim:
$\tan(45^\circ) = \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Gölgenin Uzunluğu}}$
$\tan(45^\circ) = \frac{h}{8}$
Trigonometrik değerlerden $\tan(45^\circ)$'nin $1$'e eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi bu değeri denklemde yerine koyalım:
$1 = \frac{h}{8}$
Denklemi $h$ için çözmek için her iki tarafı $8$ ile çarpalım:
$h = 1 \times 8$
$h = 8$ metre
Yani direğin boyu $8$ metredir.
Cevap C seçeneğidir.
