Soru:
Bir dik üçgende \( \tan \theta = 2 \) olduğuna göre, \( \sin \theta \) ve \( \cos \theta \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Tanjant oranı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Bu oranı kullanarak hipotenüsü bulabiliriz.
- ➡️ \( \tan \theta = 2 = \frac{2}{1} = \frac{Karşı}{Komşu} \) olduğundan, karşı kenar = 2x ve komşu kenar = x diyebiliriz.
- ➡️ Hipotenüsü Pisagor Teoremi ile bulalım: \( Hipotenüs^2 = (2x)^2 + (x)^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2 \). Buradan \( Hipotenüs = x\sqrt{5} \).
- ➡️ \( \sin \theta = \frac{Karşı}{Hipotenüs} = \frac{2x}{x\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \). Paydayı rasyonel yaparsak: \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
- ➡️ \( \cos \theta = \frac{Komşu}{Hipotenüs} = \frac{x}{x\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \).
✅ Sonuç: \( \sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5} \) ve \( \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5} \).
