Soru:
Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz: \( \frac{\sin x}{\cos x \cdot \tan x} + \frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} \)
Çözüm:
💡 Bu soruda trigonometrik özdeşlikleri kullanarak ifadeyi sadeleştireceğiz. Temel özdeşlikleri hatırlayalım: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) ve \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
- ➡️ İlk terimi sadeleştirelim: \( \frac{\sin x}{\cos x \cdot \tan x} = \frac{\sin x}{\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\sin x}{\sin x} = 1 \)
- ➡️ İkinci terimde paydayı düzenleyelim. \( 1 - \sin x \) ifadesini \( (1 - \sin x) \) olarak bırakıyoruz. Payı ise \( 1 - \sin^2 x \)'e benzetmeye çalışalım. \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) özdeşliğini biliyoruz.
- ➡️ İkinci terim: \( \frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \sin x} \). Pay iki kare farkıdır: \( \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 - \sin x)} \). \( (1 - \sin x) \)'ler sadeleşir ve geriye \( 1 + \sin x \) kalır.
- ➡️ Şimdi her iki terimi toplayalım: \( 1 + (1 + \sin x) = 2 + \sin x \)
✅ Sonuç: \( 2 + \sin x \)
