Bir dik üçgende dar açılardan biri $\alpha$ olmak üzere, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ olduğuna göre, $\tan \alpha + \cot \alpha$ ifadesinin değeri kaçtır?
A) $\frac{16}{15}$
B) $\frac{25}{12}$
C) $\frac{12}{25}$
D) $\frac{15}{16}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün bir dik üçgende trigonometrik oranlarla ilgili güzel bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.
- 1. Adım: Verilen Bilgiyi Anlayalım ve Üçgeni Çizelim
- Soruda bir dik üçgende dar açılardan birinin $\alpha$ olduğu ve $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ olduğu belirtilmiş. Hatırlayalım ki, bir dik üçgende sinüs değeri, karşı dik kenarın hipotenüse oranına eşittir. Yani:
- $\sin \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
- Bu durumda, $\alpha$ açısının karşısındaki dik kenarın uzunluğunu $3k$ ve hipotenüsün uzunluğunu $5k$ olarak alabiliriz (burada $k$ bir pozitif sabittir).
- 2. Adım: Pisagor Teoremini Kullanarak Eksik Kenarı Bulalım
- Bir dik üçgende iki kenar biliniyorsa, üçüncü kenarı Pisagor Teoremi ($a^2 + b^2 = c^2$) ile bulabiliriz. Bizim üçgenimizde:
- Karşı Dik Kenar $= 3k$
- Hipotenüs $= 5k$
- Komşu Dik Kenar'ı bulmamız gerekiyor. Buna $x$ diyelim.
- $(3k)^2 + x^2 = (5k)^2$
- $9k^2 + x^2 = 25k^2$
- $x^2 = 25k^2 - 9k^2$
- $x^2 = 16k^2$
- $x = \sqrt{16k^2} = 4k$
- Böylece, $\alpha$ açısının komşu dik kenarının uzunluğunu $4k$ olarak bulduk.
- 3. Adım: $\tan \alpha$ ve $\cot \alpha$ Değerlerini Hesaplayalım
- Şimdi üçgenin tüm kenar uzunluklarını biliyoruz: Karşı Dik Kenar $= 3k$, Komşu Dik Kenar $= 4k$, Hipotenüs $= 5k$.
- Tanjant ve kotanjant değerlerini hatırlayalım:
- $\tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$
- $\cot \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}$
- (Ayrıca, $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ olduğunu da hatırlayabiliriz, bu da $\cot \alpha = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ sonucunu verir.)
- 4. Adım: İstenen İfadeyi Hesaplayalım
- Soruda bizden $\tan \alpha + \cot \alpha$ ifadesinin değeri isteniyor. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
- $\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{3}{4} + \frac{4}{3}$
- Bu iki kesri toplamak için paydalarını eşitlememiz gerekir. Ortak payda $4 \times 3 = 12$'dir.
- $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
- $\frac{4}{3} = \frac{4 \times 4}{3 \times 4} = \frac{16}{12}$
- Şimdi toplayalım:
- $\frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{9+16}{12} = \frac{25}{12}$
Böylece, $\tan \alpha + \cot \alpha$ ifadesinin değerini $\frac{25}{12}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
