Bir kenarı 10 cm olan kare şeklindeki bir kağıt, köşegenlerinden biri boyunca ikiye katlanıyor. Katlama sonrası oluşan dik üçgenlerden birinin dar açısının sinüs değeri kaçtır?
A) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Sevgili öğrenciler, bu problemde bir kareyi köşegeni boyunca katlayarak oluşan dik üçgenin dar açısının sinüs değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir kenarı $10$ cm olan kare şeklindeki bir kağıdı düşünün. Karenin tüm kenarları eşittir ve tüm iç açıları $90^\circ$'dir. Kareyi köşegenlerinden biri boyunca katladığımızda, kare tam olarak iki eş (kongrüent) dik üçgene ayrılır. Bu üçgenler, karenin kenarlarını dik kenar olarak kullanır ve karenin köşegeni de bu üçgenlerin hipotenüsü olur.
Katlama sonucunda oluşan dik üçgenlerden birini ele alalım. Bu üçgenin dik kenarları, karenin kenarları olduğu için her biri $10$ cm uzunluğundadır. Yani, bu bir ikizkenar dik üçgendir (dik kenarları eşit olan bir dik üçgen).
Bir dik üçgenin bir açısı $90^\circ$'dir. İkizkenar dik üçgenlerde, dik açının karşısındaki kenar (hipotenüs) en uzun kenardır ve diğer iki açı (dar açılar) birbirine eşittir. Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$ olduğundan, $90^\circ + x + x = 180^\circ$ denklemini kurarız. Buradan $2x = 90^\circ$ ve $x = 45^\circ$ bulunur. Yani, oluşan dik üçgenin dar açıları $45^\circ$'dir.
Soru bizden bu dik üçgenin dar açısının sinüs değerini bulmamızı istiyor. Dar açılarımız $45^\circ$ olduğu için $\sin(45^\circ)$ değerini hesaplamamız gerekiyor.
Sinüs değeri, bir dik üçgende "karşı dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranı" olarak tanımlanır: $\sin(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$.
Öncelikle hipotenüsün uzunluğunu bulalım. Dik kenarları $10$ cm olan bir ikizkenar dik üçgende Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz: $(\text{Hipotenüs})^2 = (\text{Dik Kenar 1})^2 + (\text{Dik Kenar 2})^2$.
$(\text{Hipotenüs})^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.
Hipotenüs $= \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$ cm.
Şimdi $\sin(45^\circ)$ değerini hesaplayalım:
$\sin(45^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{10}{10\sqrt{2}}$.
Bu ifadeyi sadeleştirelim: $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Paydayı kökten kurtarmak için hem payı hem de paydayı $\sqrt{2}$ ile çarpalım:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Buna göre, oluşan dik üçgenin dar açısının sinüs değeri $\frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
