\( P(x) = (a-2)x^4 + 3x^b - 5x + 1 \) ifadesinin bir polinom olabilmesi için a ve b'nin alabileceği değerler aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A) a = 2, b = 3
B) a ≠ 2, b negatif tam sayı
C) a = 2, b pozitif tam sayı
D) a ≠ 2, b negatif olmayan tam sayı
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir ifadenin polinom olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini adım adım inceleyelim.
-
1. Polinom Tanımı:
Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şart vardır:
- Değişkenlerin (burada $x$) kuvvetleri (üsleri) negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Yani $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır.
- Terimlerin katsayıları gerçek sayılar olmalıdır.
-
2. Verilen İfadeyi İnceleyelim:
İfademiz $ P(x) = (a-2)x^4 + 3x^b - 5x + 1 $ şeklindedir.
-
Birinci Terim: $ (a-2)x^4 $
- $x$'in kuvveti $4$'tür. $4$ bir negatif olmayan tam sayıdır. Bu kısım uygun.
- Katsayısı $ (a-2) $'dir. $a$ bir gerçek sayı olduğu sürece $ (a-2) $ de bir gerçek sayı olacaktır. Bu terimin polinom olabilmesi için $a$ üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur. Yani $a$ herhangi bir gerçek sayı olabilir. Eğer $a=2$ olursa, katsayı $0$ olur ve $x^4$ terimi kaybolur, ancak ifade hala bir polinomdur.
-
İkinci Terim: $ 3x^b $
- $x$'in kuvveti $b$'dir. Bir polinomda değişkenin kuvveti negatif olmayan tam sayı olmak zorunda olduğundan, $b$ negatif olmayan bir tam sayı olmalıdır. Yani $b \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
- Katsayısı $3$'tür. $3$ bir gerçek sayıdır. Bu kısım uygun.
-
Üçüncü Terim: $ -5x $
- Bu terim $ -5x^1 $ olarak düşünülebilir. $x$'in kuvveti $1$'dir. $1$ bir negatif olmayan tam sayıdır. Bu kısım uygun.
- Katsayısı $ -5 $'tir. $ -5 $ bir gerçek sayıdır. Bu kısım uygun.
-
Dördüncü Terim (Sabit Terim): $ +1 $
- Bu terim $ 1x^0 $ olarak düşünülebilir. $x$'in kuvveti $0$'dır. $0$ bir negatif olmayan tam sayıdır. Bu kısım uygun.
- Katsayısı $1$'dir. $1$ bir gerçek sayıdır. Bu kısım uygun.
-
3. Sonuçları Birleştirelim:
Yukarıdaki incelemelere göre, $ P(x) $ ifadesinin bir polinom olabilmesi için tek zorunlu şart $b$'nin negatif olmayan bir tam sayı olmasıdır. $a$ ise herhangi bir gerçek sayı olabilir.
-
4. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $a = 2, b = 3$: $b=3$ negatif olmayan bir tam sayıdır. $a=2$ bir gerçek sayıdır. Bu durumda ifade bir polinom olur. Ancak bu, tüm olası durumları kapsayan genel bir şart değildir.
- B) $a \neq 2, b$ negatif tam sayı: $b$ negatif tam sayı olamaz. Çünkü negatif üsler ifadeyi polinom yapmaz (örneğin $x^{-1} = \frac{1}{x}$ bir polinom terimi değildir). Bu seçenek yanlıştır.
- C) $a = 2, b$ pozitif tam sayı: $b$ pozitif tam sayı ise (yani $1, 2, 3, \dots$), aynı zamanda negatif olmayan bir tam sayıdır. $a=2$ bir gerçek sayıdır. Bu durumda ifade bir polinom olur. Ancak bu da tüm olası durumları kapsayan genel bir şart değildir ve $b=0$ durumunu dışarıda bırakır.
- D) $a \neq 2, b$ negatif olmayan tam sayı:
- $b$ için verilen "negatif olmayan tam sayı" şartı, polinom tanımına tamamen uymaktadır ve $b$ için en genel doğru şarttır.
- $a \neq 2$ şartı, $x^4$ teriminin katsayısının sıfır olmadığını belirtir. $a \neq 2$ olması durumunda da $a$ bir gerçek sayı olduğu için $(a-2)$ bir gerçek sayıdır ve $x^4$ terimi geçerlidir. Bu durumda ifade bir polinom olur.
-
5. Doğru Seçeneği Belirleme:
Seçenekler arasında, $b$ için en doğru ve genel şartı içeren seçenek D'dir ("$b$ negatif olmayan tam sayı"). $a$ için ise $a \neq 2$ olması, ifadenin bir polinom olmasına engel değildir ve bu da geçerli bir durumdur. Diğer seçenekler ya $b$ için yanlış bir şart içerir (B seçeneği) ya da $b$ için gereğinden fazla kısıtlayıcıdır (A ve C seçenekleri).
Cevap D seçeneğidir.
