Gerçek sayılarda A = (-∞, 8] ve B = (3, 12) aralıkları veriliyor. A ∩ B kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 8]Bu soruda, gerçek sayılarda tanımlanmış iki aralığın kesişim kümesini bulmamız isteniyor. Kesişim kümesi, her iki aralıkta da bulunan elemanlardan oluşur. Adım adım ilerleyelim:
$A = (-\infty, 8]$ aralığı, $8$ dahil olmak üzere $8$'den küçük veya eşit tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x \le 8$ koşulunu sağlayan sayılar.
$B = (3, 12)$ aralığı, $3$ dahil değil, $12$ dahil değil olmak üzere $3$ ile $12$ arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $3 < x < 12$ koşulunu sağlayan sayılar.
İki aralığın kesişimini bulmak için, her iki koşulu da aynı anda sağlayan sayıları belirlememiz gerekir. Yani, hem $A$ kümesinde hem de $B$ kümesinde olan sayıları arıyoruz.
Bu durumda, $x$ sayısı için hem $x \le 8$ (A kümesinden) hem de $3 < x < 12$ (B kümesinden) koşullarının aynı anda sağlanması gerekir. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$ sayısının $3$'ten büyük olması ($3 < x$) ve $8$'den küçük veya eşit olması ($x \le 8$) gerektiğini anlarız. Çünkü $x < 12$ koşulu, $x \le 8$ koşulunu zaten kapsar (eğer bir sayı $8$'den küçük veya eşitse, kesinlikle $12$'den de küçüktür).
Kesişim kümesindeki sayılar, hem $A$ kümesinin hem de $B$ kümesinin alt sınırından büyük olmalıdır. $A$ kümesinin alt sınırı $-\infty$ iken, $B$ kümesinin alt sınırı $3$'tür. Bu durumda, kesişim kümesinin alt sınırı, bu iki alt sınırdan büyük olanı, yani $3$ olacaktır.
$B$ aralığında $3$ dahil olmadığı için $(3 < x)$, kesişim kümesinde de $3$ dahil olmayacaktır. Bu yüzden alt sınırımız $3$ ve parantez türü açık parantez olacaktır: $(3$.
Kesişim kümesindeki sayılar, hem $A$ kümesinin hem de $B$ kümesinin üst sınırından küçük olmalıdır. $A$ kümesinin üst sınırı $8$ iken, $B$ kümesinin üst sınırı $12$'dir. Bu durumda, kesişim kümesinin üst sınırı, bu iki üst sınırdan küçük olanı, yani $8$ olacaktır.
$A$ aralığında $8$ dahil olduğu için $(x \le 8)$, kesişim kümesinde de $8$ dahil olacaktır. Bu yüzden üst sınırımız $8$ ve parantez türü köşeli parantez olacaktır: $8]$.
Belirlediğimiz alt ve üst sınırları birleştirerek kesişim kümesini yazabiliriz:
$A \cap B = (3, 8]$
Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
