10. Sınıf Harizmi ve Tamkareye Tamamlama Yöntemi Test 1

Harezmi'nin "El-Kitabü'l-Muhtasar fi Hisabi'l-Cebr ve'l-Mukabele" adlı eserinde çözümünü verdiği \( x^2 + 10x = 39 \) denklemini tam kareye tamamlama yöntemiyle çözmek isteyen bir öğrenci, aşağıdaki adımlardan hangisini yanlış uygular?

A) Denklemin her iki tarafına 25 ekler
B) Denklemi \( (x+5)^2 = 64 \) şeklinde yazar
C) Denklemin köklerini \( x = 3 \) ve \( x = -13 \) olarak bulur
D) Denklemin sabit terimini sağ tarafa atar

Sevgili öğrenciler, Harezmi'nin ünlü denklemini tam kareye tamamlama yöntemiyle çözerken hangi adımın yanlış uygulandığını bulalım.

• Verilen denklem $ x^2 + 10x = 39 $ şeklindedir. Tam kareye tamamlama yönteminin amacı, denklemin bir tarafını bir tam kare ifadeye dönüştürmektir.
• D) Denklemin sabit terimini sağ tarafa atar: Tam kareye tamamlama yönteminde ilk adım genellikle $ x^2 $ ve $ x $ terimlerini bir tarafta, sabit terimi ise diğer tarafta toplamaktır. Verilen denklemde sabit terim olan $ 39 $ zaten sağ taraftadır. Dolayısıyla bu adım doğru bir başlangıç durumunu ifade eder veya bu adımın uygulanmasına gerek olmadığını gösterir. Bu, yanlış bir uygulama değildir.
• A) Denklemin her iki tarafına 25 ekler: Tam kare ifade oluşturmak için $ x^2 + bx $ şeklindeki bir ifadeye $ (\frac{b}{2})^2 $ eklenir. Burada $ b = 10 $ olduğu için, $ (\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25 $ eklememiz gerekir. Denklemin her iki tarafına $ 25 $ eklemek, denklemin dengesini bozmaz ve tam kare oluşturmak için doğru bir adımdır: $ x^2 + 10x + 25 = 39 + 25 $. Bu adım doğru uygulanmıştır.
• B) Denklemi $ (x+5)^2 = 64 $ şeklinde yazar: Bir önceki adımda denklemin sol tarafı $ x^2 + 10x + 25 $ olmuştu. Bu ifade $ (x+5)^2 $ şeklinde bir tam karedir. Sağ taraf ise $ 39 + 25 = 64 $ olur. Dolayısıyla denklemi $ (x+5)^2 = 64 $ şeklinde yazmak doğru bir adımdır.
• C) Denklemin köklerini $ x = 3 $ ve $ x = -13 $ olarak bulur: Denklemi $ (x+5)^2 = 64 $ olarak bulduktan sonra, her iki tarafın karekökünü alırız: $ \sqrt{(x+5)^2} = \pm\sqrt{64} $. Buradan $ x+5 = \pm 8 $ elde ederiz. Birinci kök için: $ x+5 = 8 \implies x = 8 - 5 \implies x = 3 $. İkinci kök için: $ x+5 = -8 \implies x = -8 - 5 \implies x = -13 $. Matematiksel olarak bu denklemin iki kökü $ x=3 $ ve $ x=-13 $ şeklindedir ve bu kökler doğru bir şekilde bulunmuştur. Ancak, Harezmi'nin yaşadığı dönemde ve onun eserlerinde (özellikle cebirsel problemlerin geometrik yorumları nedeniyle) genellikle sadece pozitif kökler geçerli çözüm olarak kabul edilirdi. Negatif kökler, o dönemdeki matematiksel anlayışta fiziksel bir karşılığı olmadığı için genellikle göz ardı edilirdi. Eğer öğrenci Harezmi'nin orijinal yaklaşımını dikkate almadan, modern cebir kurallarına göre her iki kökü de bulursa, bu durum Harezmi'nin kendi bağlamında bir "yanlış uygulama" olarak yorumlanabilir. Sorunun Harezmi'nin eserine atıfta bulunması, bu tarihsel bağlamın önemli olabileceğine işaret etmektedir. Bu nedenle, Harezmi'nin yaklaşımına göre sadece pozitif kök ($ x=3 $) geçerli kabul edileceğinden, negatif kökü de bulmak (veya geçerli bir çözüm olarak sunmak) tarihsel bağlamda bir "yanlış uygulama" olarak değerlendirilebilir.

Cevap C seçeneğidir.