$Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ifadesi bir polinomdur.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman bir polinomdur?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ifadenin ne zaman bir polinom olduğunu anlamamız isteniyor. Polinomlar matematikte çok önemli bir yer tutar ve belirli kurallara göre tanımlanır.
Polinom Nedir?
Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (genellikle $x$) kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi $0, 1, 2, 3, ...$ şeklindedir. Ayrıca, değişkenin katsayıları gerçek sayılar olmalıdır. Soru içeriğinde verilen $Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ifadesinde, $x$'in kuvvetleri $3, 2, 1$ (çünkü $cx = cx^1$) ve $0$ (çünkü $d = dx^0$) doğal sayılardır. Katsayılar $a, b, c, d$ ise gerçek sayılardır.
Seçenekleri İnceleyelim:
A) $2x^{1/2} + 3x$
Bu ifadede, ilk terim olan $2x^{1/2}$'de $x$'in kuvveti $1/2$'dir. $1/2$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır). Polinom tanımına göre değişkenin kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. Bu nedenle A seçeneği bir polinom değildir.
B) $\frac{1}{x^2} + 4x$
Bu ifadeyi üslü sayı olarak yazarsak $x^{-2} + 4x$ şeklinde olur. Burada ilk terim olan $x^{-2}$'de $x$'in kuvveti $-2$'dir. $-2$ bir doğal sayı değildir (negatif bir sayıdır). Polinom tanımına göre değişkenin kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. Bu nedenle B seçeneği bir polinom değildir.
C) $5x^4 - 2x^3 + x$
Bu ifadede, $x$'in kuvvetleri sırasıyla $4, 3$ ve $1$ (çünkü $x = x^1$) şeklindedir. $4, 3$ ve $1$ doğal sayılardır. Katsayılar ($5, -2, 1$) gerçek sayılardır. Bu ifade polinom tanımına tamamen uymaktadır. Bu nedenle C seçeneği bir polinomdur.
D) $x^{-1} + x^{-2} + 1$
Bu ifadede, $x$'in kuvvetleri $-1$ ve $-2$'dir. $-1$ ve $-2$ doğal sayılar değildir (negatif sayılardır). Polinom tanımına göre değişkenin kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. Bu nedenle D seçeneği bir polinom değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki ifadenin polinom tanımına uyduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
