KPSS Olasılık konu anlatımı Test 2

1'den 20'ye kadar numaralandırılmış kartlardan rastgele seçilen bir kartın asal sayı veya 3'ün katı olma olasılığı kaçtır?

A) 3/5
B) 7/10
C) 11/20
D) 13/20
E) 3/4

Bu olasılık sorusunu adım adım çözerek, konuyu daha iyi anlamanı sağlayalım. Amacımız, 1'den 20'ye kadar olan sayılar arasından rastgele seçilen bir kartın asal sayı veya 3'ün katı olma olasılığını bulmaktır.

• 1. Adım: Örnek Uzayı (Tüm Olası Durumlar) Belirleme

  Öncelikle, kartların hangi sayılardan oluştuğunu ve toplam kaç kart olduğunu belirleyelim. Kartlar 1'den 20'ye kadar numaralandırılmıştır. Bu durumda, örnek uzayımızdaki eleman sayısı (toplam olası durum sayısı) 20'dir.

  Örnek Uzay = ${1, 2, 3, ..., 20}$

  Toplam Durum Sayısı = 20

• 2. Adım: Asal Sayıları Belirleme (A Olayı)

  Asal sayılar, 1'den büyük olup 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılardır. 1'den 20'ye kadar olan asal sayıları listeleyelim:

  Asal Sayılar = ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$

  Asal Sayı Olma Durumu Sayısı = 8

  Asal Sayı Olma Olasılığı ($P(A)$) = $\frac{\text{Asal Sayı Olma Durumu Sayısı}}{\text{Toplam Durum Sayısı}} = \frac{8}{20}$

• 3. Adım: 3'ün Katlarını Belirleme (B Olayı)

  Şimdi de 1'den 20'ye kadar olan sayılar arasından 3'ün katlarını listeleyelim:

  3'ün Katları = ${3, 6, 9, 12, 15, 18}$

  3'ün Katı Olma Durumu Sayısı = 6

  3'ün Katı Olma Olasılığı ($P(B)$) = $\frac{\text{3'ün Katı Olma Durumu Sayısı}}{\text{Toplam Durum Sayısı}} = \frac{6}{20}$

• 4. Adım: Hem Asal Hem de 3'ün Katı Olan Sayıları Belirleme (A ve B Olaylarının Kesişimi)

  Olasılık hesaplamasında çifte saymayı önlemek için, hem asal hem de 3'ün katı olan sayıları bulmamız gerekir. Asal sayılar listemizdeki ve 3'ün katları listemizdeki ortak elemanlara bakalım:

  Asal Sayılar = ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$

  3'ün Katları = ${3, 6, 9, 12, 15, 18}$

  Ortak Eleman = ${3}$

  Hem Asal Hem de 3'ün Katı Olma Durumu Sayısı = 1

  Hem Asal Hem de 3'ün Katı Olma Olasılığı ($P(A \cap B)$) = $\frac{1}{20}$

• 5. Adım: Asal Veya 3'ün Katı Olma Olasılığını Hesaplama

  İki olayın birleşiminin olasılığını bulmak için şu formülü kullanırız:

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

  Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım:

  $P(\text{Asal veya 3'ün Katı}) = \frac{8}{20} + \frac{6}{20} - \frac{1}{20}$

• 6. Adım: Sonuçlandırma

  Hesaplamayı yapalım:

  $P(\text{Asal veya 3'ün Katı}) = \frac{8 + 6 - 1}{20}$

  $P(\text{Asal veya 3'ün Katı}) = \frac{14 - 1}{20}$

  $P(\text{Asal veya 3'ün Katı}) = \frac{13}{20}$

Buna göre, rastgele seçilen bir kartın asal sayı veya 3'ün katı olma olasılığı $\frac{13}{20}$'dir.

Cevap D seçeneğidir.