Dört farklı matematik kulübü, kendi sayı kümelerinde belirli işlemlerin kapanma özelliğini test ediyor.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi, ilgili sayı kümesi ve işlem için doğru bir kapanma özelliği belirtir?
A) Doğal sayılar kümesi, çıkarma işlemi altında kapalıdır.
B) Tam sayılar kümesi, bölme işlemi altında kapalıdır.
C) Rasyonel sayılar kümesi, çarpma işlemi altında kapalıdır.
D) İrrasyonel sayılar kümesi, toplama işlemi altında kapalıdır.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, farklı sayı kümelerinin belirli işlemler altında "kapanma özelliği"ni inceleyeceğiz. Kapanma özelliği, bir sayı kümesinden alınan herhangi iki elemanın belirli bir işlemle birleştirildiğinde, sonucun yine aynı sayı kümesinin bir elemanı olması durumudur. Eğer bu durum her zaman sağlanıyorsa, o küme o işlem altında kapalıdır deriz. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Doğal sayılar kümesi, çıkarma işlemi altında kapalıdır.
- Doğal sayılar kümesi $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ olarak tanımlanır.
- Çıkarma işlemi için bir örnek verelim: $3$ bir doğal sayıdır ve $5$ de bir doğal sayıdır.
- $3 - 5 = -2$ sonucunu elde ederiz.
- Ancak $-2$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
- Bu nedenle, doğal sayılar kümesi çıkarma işlemi altında kapalı değildir.
- B) Tam sayılar kümesi, bölme işlemi altında kapalıdır.
- Tam sayılar kümesi $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ olarak tanımlanır.
- Bölme işlemi için bir örnek verelim: $3$ bir tam sayıdır ve $2$ de bir tam sayıdır.
- $3 \div 2 = \frac{3}{2} = 1.5$ sonucunu elde ederiz.
- Ancak $1.5$ bir tam sayı değildir (bir rasyonel sayıdır).
- Bu nedenle, tam sayılar kümesi bölme işlemi altında kapalı değildir. (Ayrıca sıfıra bölme durumu da tanımsızlık yaratır.)
- C) Rasyonel sayılar kümesi, çarpma işlemi altında kapalıdır.
- Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$ şeklinde tanımlanır. Yani, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır.
- Herhangi iki rasyonel sayı alalım: $\frac{a}{b}$ ve $\frac{c}{d}$ olsun (burada $a, b, c, d$ tam sayılar ve $b \neq 0, d \neq 0$).
- Bu iki rasyonel sayıyı çarptığımızda: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ sonucunu elde ederiz.
- Burada $a \cdot c$ bir tam sayıdır ve $b \cdot d$ de bir tam sayıdır. Ayrıca $b \neq 0$ ve $d \neq 0$ olduğundan $b \cdot d \neq 0$'dır.
- Tanım gereği, $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ ifadesi de bir rasyonel sayıdır.
- Bu durum her zaman geçerli olduğu için, rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemi altında kapalıdır.
- D) İrrasyonel sayılar kümesi, toplama işlemi altında kapalıdır.
- İrrasyonel sayılar kümesi $\mathbb{I}$, gerçel sayılar olup rasyonel olmayan sayılardır (örneğin $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$).
- Toplama işlemi için bir örnek verelim: $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır. $-\sqrt{2}$ de bir irrasyonel sayıdır.
- Bu iki irrasyonel sayıyı topladığımızda: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ sonucunu elde ederiz.
- Ancak $0$ bir rasyonel sayıdır (çünkü $\frac{0}{1}$ şeklinde yazılabilir), irrasyonel bir sayı değildir.
- Bu nedenle, irrasyonel sayılar kümesi toplama işlemi altında kapalı değildir.
Yukarıdaki analizlere göre, yalnızca rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemi altında kapalıdır.
Cevap C seçeneğidir.
