f(x) = ax² + bx + c parabolünün simetri ekseni x = r olmak üzere, bu parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı 8 ise r değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir parabolün simetri ekseni ile x eksenini kestiği noktaların apsisleri arasındaki ilişkiyi anlamamız gerekiyor. Öncelikle verilen bilgileri ve parabol özelliklerini hatırlayalım.
Bir parabolün denklemi $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklindedir. Bu parabolün x eksenini kestiği noktalar, $f(x) = 0$ denkleminin kökleridir. Bu köklere $x_1$ ve $x_2$ diyelim.
İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamı için bildiğimiz bir formül var: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
Soru bize bu parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamının 8 olduğunu söylüyor. Yani, $x_1 + x_2 = 8$.
Şimdi de parabolün simetri eksenine gelelim. Bir parabolün simetri ekseni, tepe noktasından geçen ve parabolü iki eşit parçaya bölen dikey doğrudur. Bu eksenin denklemi $x = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
Soruda simetri ekseninin $x = r$ olduğu belirtilmiş. Bu durumda, $r = -\frac{b}{2a}$ diyebiliriz.
Şimdi kökler toplamı ile simetri ekseni arasındaki ilişkiyi kuralım.
Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Simetri ekseni: $r = -\frac{b}{2a}$
Dikkat ederseniz, simetri ekseni formülünü kökler toplamı cinsinden yazabiliriz:
$r = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right)$
Bu da demektir ki, $r = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
Yani, parabolün simetri ekseni, x eksenini kestiği noktaların apsislerinin tam ortasındadır (aritmetik ortalamasıdır).
Şimdi bize verilen kökler toplamı değerini bu formülde yerine koyalım:
$r = \frac{8}{2}$
$r = 4$
