A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A'dan B'ye tanımlanan f fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi f fonksiyonunun görüntü kümesi olamaz?
A) {1, 2, 3}Bu soruyu çözmek için fonksiyonların temel özelliklerini, özellikle birebir ve örten fonksiyon kavramlarını iyi anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen kümeler $A = \{a, b, c\}$ ve $B = \{1, 2, 3\}$'tür. Tanımlanan fonksiyon $f: A \to B$, yani $A$ kümesindeki her elemanı $B$ kümesindeki bir elemana eşliyor.
$A$ kümesi tanım kümesi, $B$ kümesi ise değer kümesidir.
$A$ kümesinin eleman sayısı $|A| = 3$.
$B$ kümesinin eleman sayısı $|B| = 3$.
Bir fonksiyonun birebir olması demek, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde farklı elemanlara eşleşmesi demektir. Yani, $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
Basitçe ifade edersek, $A$ kümesindeki her eleman $B$ kümesinde "kendine özel" bir elemanla eşleşir. Hiçbir iki $A$ elemanı aynı $B$ elemanına gidemez.
Bu durumda, görüntü kümesinin ($f(A)$) eleman sayısı, tanım kümesinin eleman sayısına eşit olmak zorundadır. Yani, $|f(A)| = |A|$.
Bizim örneğimizde $|A|=3$ olduğu için, birebir bir fonksiyonun görüntü kümesinin eleman sayısı da $3$ olmalıdır.
Bir fonksiyonun örten olması demek, değer kümesinde açıkta hiçbir eleman kalmaması demektir. Yani, değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olmalıdır.
Matematiksel olarak ifade edersek, fonksiyonun görüntü kümesi ($f(A)$), değer kümesine ($B$) eşit olmalıdır. Yani, $f(A) = B$.
Bizim örneğimizde $B = \{1, 2, 3\}$ olduğu için, örten bir fonksiyonun görüntü kümesi mutlaka $\{1, 2, 3\}$ olmalıdır.
Fonksiyonumuz hem birebir hem de örten olduğuna göre, her iki özelliğin de aynı anda sağlanması gerekir.
Birebir olma özelliğinden dolayı görüntü kümesinin eleman sayısı $|f(A)| = |A| = 3$ olmalıdır.
Örten olma özelliğinden dolayı görüntü kümesi $f(A)$ değer kümesi $B$ ile aynı olmalıdır. Yani $f(A) = B = \{1, 2, 3\}$.
Gördüğümüz gibi, her iki özellik de aynı sonuca işaret ediyor: $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi kesinlikle $B = \{1, 2, 3\}$ olmalıdır.
Soru bize "f fonksiyonunun görüntü kümesi olamaz?" diye soruyor.
Bizim bulduğumuz sonuca göre, $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi mutlaka $\{1, 2, 3\}$ olmalıdır.
Şimdi seçeneklere bakalım:
A) $\{1, 2, 3\}$: Bu, fonksiyonun görüntü kümesi olabilir (hatta olmalıdır), çünkü değer kümesine eşittir ve eleman sayısı $3$'tür.
B) $\{1, 2\}$: Bu kümenin eleman sayısı $2$'dir. Oysa birebir bir fonksiyonun görüntü kümesinin eleman sayısı $3$ olmalıydı ($|A|=3$). Ayrıca, bu küme $B$ kümesine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyon örten de olamaz (çünkü $3 \in B$ açıkta kalır). Bu yüzden bu seçenek görüntü kümesi olamaz.
C) $\{1, 3\}$: Bu kümenin eleman sayısı $2$'dir. Aynı nedenlerle (birebir ve örten olmama koşulları) görüntü kümesi olamaz.
D) $\{2, 3\}$: Bu kümenin eleman sayısı $2$'dir. Aynı nedenlerle (birebir ve örten olmama koşulları) görüntü kümesi olamaz.
Görüldüğü gibi, $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi kesinlikle $B = \{1, 2, 3\}$ olmalıdır. Seçenek B'deki $\{1, 2\}$ kümesi, bu koşulu sağlamadığı için $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi olamaz.
Özetle, birebir ve örten bir fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin tamamına eşit olmak zorundadır. Bu durumda, $f(A) = B = \{1, 2, 3\}$ olmalıdır. Seçeneklerdeki $\{1, 2\}$ kümesi, $B$ kümesine eşit olmadığı için, böyle bir fonksiyonun görüntü kümesi olamaz.
Cevap B seçeneğidir.
