P = {x | x² - 5x + 6 = 0, x ∈ R} ve Q = {y | y² - 3y + 2 = 0, y ∈ R} kümeleri veriliyor. P ve Q kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) P ⊂ Q
B) Q ⊂ P
C) P = Q
D) P ∩ Q = ∅
Verilen kümelerin elemanlarını bulmak için öncelikle tanımlayıcı denklemleri çözmemiz gerekiyor. Her iki küme de ikinci dereceden denklemlerle tanımlanmıştır.
- Adım 1: P kümesinin elemanlarını bulalım.
P kümesi, $x^2 - 5x + 6 = 0$ denklemini sağlayan gerçek sayılardan oluşur. Bu denklemi çarpanlara ayırarak köklerini bulabiliriz:
- Denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x-2)(x-3) = 0$
- Bu denklemin kökleri $x-2=0$ veya $x-3=0$ olduğunda bulunur.
- Yani, $x_1 = 2$ ve $x_2 = 3$ olur.
- Buna göre, P kümesinin elemanları $P = \{2, 3\}$'tür.
- Adım 2: Q kümesinin elemanlarını bulalım.
Q kümesi, $y^2 - 3y + 2 = 0$ denklemini sağlayan gerçek sayılardan oluşur. Bu denklemi de çarpanlara ayırarak köklerini bulabiliriz:
- Denklemi çarpanlarına ayıralım: $(y-1)(y-2) = 0$
- Bu denklemin kökleri $y-1=0$ veya $y-2=0$ olduğunda bulunur.
- Yani, $y_1 = 1$ ve $y_2 = 2$ olur.
- Buna göre, Q kümesinin elemanları $Q = \{1, 2\}$'dir.
- Adım 3: P ve Q kümeleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
Şimdi bulduğumuz kümeleri karşılaştıralım:
- $P = \{2, 3\}$
- $Q = \{1, 2\}$
Seçenekleri tek tek değerlendirelim:
- A) $P \subset Q$: P kümesinin Q kümesinin alt kümesi olması için P'deki her elemanın Q'da da bulunması gerekir. Ancak $3 \in P$ iken $3 \notin Q$. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- B) $Q \subset P$: Q kümesinin P kümesinin alt kümesi olması için Q'daki her elemanın P'de de bulunması gerekir. Ancak $1 \in Q$ iken $1 \notin P$. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- C) $P = Q$: P ve Q kümelerinin eşit olması için elemanlarının tamamen aynı olması gerekir. Gördüğümüz gibi elemanları farklıdır. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- D) $P \cap Q = \emptyset$: P ve Q kümelerinin kesişiminin boş küme olması için hiçbir ortak elemanlarının bulunmaması gerekir. Kümelerin elemanlarını incelediğimizde, ortak elemanları olmadığını görürüz. Bu nedenle kesişimleri boş kümedir.
Yukarıdaki adımları takip ederek kümelerin elemanlarını ve aralarındaki ilişkileri belirledik. Bu durumda, P ve Q kümelerinin ortak elemanı bulunmadığı için kesişimleri boş kümedir.
Cevap D seçeneğidir.
