Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, ters trigonometrik fonksiyonlardan $\arccos$ fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İçteki kosinüs değerini hesaplayalım.
- İfadenin iç kısmında $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ değeri bulunmaktadır. Öncelikle bu değeri hesaplamamız gerekiyor.
- Açı $\frac{5\pi}{3}$ radyan, derece cinsinden $5 \times \frac{180^\circ}{3} = 5 \times 60^\circ = 300^\circ$ demektir.
- $300^\circ$ açısı birim çemberde 4. bölgede yer alır.
- 4. bölgedeki bir açının kosinüs değeri pozitiftir. Bu açının referans açısı $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ veya $2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$'tür.
- Bu durumda, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(300^\circ\right) = \cos\left(60^\circ\right) = \frac{1}{2}$ olur.
- Adım 2: Dıştaki $\arccos$ değerini hesaplayalım.
- Şimdi ifademiz $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$ haline geldi.
- $\arccos(x)$ fonksiyonunun tanım aralığı $[-1, 1]$ ve değer aralığı $[0, \pi]$'dir. Yani, $\arccos(x)$ bize kosinüsü $x$ olan ve $0$ ile $\pi$ (dahil) arasında bir açı verir.
- Bizim aradığımız açı, kosinüsü $\frac{1}{2}$ olan ve $0 \le \theta \le \pi$ aralığında bulunan $\theta$ açısıdır.
- Bildiğimiz üzere, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$'dir.
- Ayrıca, $\frac{\pi}{3}$ açısı $0$ ile $\pi$ aralığında yer almaktadır ($0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$).
- Bu nedenle, $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$'tür.
- Adım 3: Sonucu belirleyelim.
- Tüm adımları tamamladığımızda, $\arccos\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ sonucunu buluruz.
Bu sonuç seçenekler arasında D seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap D seçeneğidir.
