Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Bir dikdörtgenin çevresi ve alanı verildiğinde, köşegen uzunluğunu bulmak için önce kenar uzunluklarını bulmamız gerekir. Haydi başlayalım!
- 1. Adım: Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Tanımlayalım
- Dikdörtgenin kısa kenarına $a$ cm, uzun kenarına $b$ cm diyelim.
- 2. Adım: Çevre Bilgisini Kullanalım
- Bir dikdörtgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katıdır. Formülü $2(a + b)$ şeklindedir.
- Soruda çevre 28 cm olarak verilmiş. O zaman: $2(a + b) = 28$ cm.
- Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölersek: $a + b = 14$ cm olur. (Bu bizim 1. denklemimiz.)
- 3. Adım: Alan Bilgisini Kullanalım
- Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımıdır. Formülü $a \times b$ şeklindedir.
- Soruda alan 48 cm² olarak verilmiş. O zaman: $a \times b = 48$ cm². (Bu bizim 2. denklemimiz.)
- 4. Adım: Kenar Uzunluklarını Bulmak İçin Denklemleri Çözelim
- Şimdi elimizde iki denklem var:
- 1) $a + b = 14$
- 2) $a \times b = 48$
- 1. denklemden $b$'yi yalnız bırakırsak: $b = 14 - a$ olur.
- Bu ifadeyi 2. denklemde $b$ yerine yazalım: $a(14 - a) = 48$.
- Denklemi açalım: $14a - a^2 = 48$.
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak bir ikinci dereceden denklem oluşturalım: $a^2 - 14a + 48 = 0$.
- Bu denklemi çarpanlarına ayırarak $a$ değerini bulabiliriz. Çarpımları 48, toplamları 14 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar 6 ve 8'dir.
- Yani, $(a - 6)(a - 8) = 0$.
- Buradan $a = 6$ veya $a = 8$ bulunur.
- Eğer $a = 6$ ise, $b = 14 - 6 = 8$ olur.
- Eğer $a = 8$ ise, $b = 14 - 8 = 6$ olur.
- Her iki durumda da dikdörtgenin kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir.
- 5. Adım: Köşegen Uzunluğunu Hesaplayalım
- Bir dikdörtgenin köşegeni, kenarlarıyla birlikte bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende kenarlar dik kenarlar, köşegen ise hipotenüstür.
- Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, köşegen uzunluğuna $d$ dersek: $d^2 = a^2 + b^2$.
- Bulduğumuz kenar uzunluklarını (6 cm ve 8 cm) yerine yazalım: $d^2 = 6^2 + 8^2$.
- $d^2 = 36 + 64$.
- $d^2 = 100$.
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: $d = \sqrt{100}$.
- $d = 10$ cm.
Böylece dikdörtgenin köşegen uzunluğunu 10 cm olarak bulmuş olduk. Gördüğünüz gibi, adım adım ilerleyerek karmaşık görünen problemleri bile kolayca çözebiliriz!
Cevap A seçeneğidir.
