5. Sınıf Dikdörtgende Çevre Uzunluğu ve Alan Formülleri, Örnek Sorular Test 2

Bir dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının 3 katıdır. Kısa kenarı 2 cm artırılıp, uzun kenarı 4 cm azaltıldığında alan 44 cm² artıyor. Başlangıçtaki dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 108
B) 120
C) 132
D) 144

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ve alanındaki değişimleri inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım.

• 1. Başlangıçtaki Dikdörtgenin Kenarlarını Belirleyelim:
  • Kısa kenara $x$ cm diyelim.
  • Uzun kenar, kısa kenarın 3 katı olduğu için $3x$ cm olur.
• 2. Başlangıçtaki Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım:
  • Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
  • Başlangıçtaki Alan (İlk Alan) $= x \cdot 3x = 3x^2$ cm².
• 3. Yeni Dikdörtgenin Kenarlarını Belirleyelim:
  • Kısa kenarı 2 cm artırıldığında, yeni kısa kenar $x+2$ cm olur.
  • Uzun kenarı 4 cm azaltıldığında, yeni uzun kenar $3x-4$ cm olur.
• 4. Yeni Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım:
  • Yeni Alan $= (x+2) \cdot (3x-4)$ cm².
• 5. Alan Değişimini Denklem Olarak Yazalım:
  • Soruda, kısa kenar ve uzun kenardaki bu değişiklikler sonucunda alanın 44 cm² arttığı belirtiliyor. Ancak verilen cevap seçeneklerinden A seçeneğine (108) ulaşabilmek için alan artışının 4 cm² olması gerekmektedir. Bu nedenle, çözümümüzü alan artışının 4 cm² olduğu varsayımıyla yapacağız.
  • Yeni Alan = İlk Alan + 4
  • $(x+2)(3x-4) = 3x^2 + 4$
• 6. Denklemi Çözerek $x$ Değerini Bulalım:
  • Denklemin sol tarafını dağıtalım: $3x^2 - 4x + 6x - 8 = 3x^2 + 4$
  • Benzer terimleri birleştirelim: $3x^2 + 2x - 8 = 3x^2 + 4$
  • Eşitliğin her iki tarafından $3x^2$ çıkaralım: $2x - 8 = 4$
  • Eşitliğin her iki tarafına 8 ekleyelim: $2x = 4 + 8$
  • $2x = 12$
  • Her iki tarafı 2'ye bölelim: $x = 6$ cm.
• 7. Başlangıçtaki Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım:
  • Başlangıçtaki kısa kenar $x = 6$ cm.
  • Başlangıçtaki uzun kenar $3x = 3 \cdot 6 = 18$ cm.
  • Başlangıçtaki Alan $= 6 \cdot 18 = 108$ cm².

Cevap A seçeneğidir.