Analitik düzlemde vektörler Test 2

\(\vec{m}\) = (4,-2) ve \(\vec{n}\) = (1,2) vektörleri veriliyor. Buna göre \(\vec{m}\) vektörünün \(\vec{n}\) vektörü üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir?

A) 0
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki vektör arasındaki izdüşüm vektörünün uzunluğunu bulacağız. Vektör izdüşümü, bir vektörün başka bir vektör üzerindeki "gölgesi" gibi düşünülebilir. İzdüşüm vektörünün uzunluğunu bulmak için belirli bir formül kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: İzdüşüm Vektörünün Uzunluğu Formülünü Hatırlayalım

Bir $\vec{m}$ vektörünün bir $\vec{n}$ vektörü üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğu (skaler izdüşüm) aşağıdaki formülle bulunur:

$\text{Uzunluk} = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{||\vec{n}||}$

Burada:

• $\vec{m} \cdot \vec{n}$ iki vektörün skaler (nokta) çarpımıdır.
• $||\vec{n}||$ ise $\vec{n}$ vektörünün uzunluğudur (büyüklüğüdür).
• Mutlak değer işareti, uzunluğun her zaman pozitif bir değer olmasını sağlar.
• 2. Adım: Vektörlerin Skaler (Nokta) Çarpımını Hesaplayalım

Verilen vektörler $\vec{m} = (4,-2)$ ve $\vec{n} = (1,2)$'dir.

İki vektörün skaler çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (4)(1) + (-2)(2)$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 4 - 4$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

Gördüğümüz gibi, skaler çarpım $0$ çıktı. Bu durum, $\vec{m}$ ve $\vec{n}$ vektörlerinin birbirine dik (ortogonal) olduğunu gösterir. İki vektör birbirine dikse, birinin diğerinin üzerine izdüşümü sıfır vektörüdür ve uzunluğu da $0$ olur. Ancak formülü tamamlamak için diğer adımı da yapalım.

• 3. Adım: $\vec{n}$ Vektörünün Uzunluğunu Hesaplayalım

Bir vektörün uzunluğu, bileşenlerinin karelerinin toplamının kareköküdür. $\vec{n} = (1,2)$ vektörünün uzunluğunu bulalım:

$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 2^2}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{1 + 4}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{5}$

• 4. Adım: İzdüşüm Vektörünün Uzunluğunu Hesaplayalım

Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım:

$\text{Uzunluk} = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{||\vec{n}||}$

$\text{Uzunluk} = \frac{|0|}{|\sqrt{5}|}$

$\text{Uzunluk} = \frac{0}{\sqrt{5}}$

$\text{Uzunluk} = 0$

Sonuç olarak, $\vec{m}$ vektörünün $\vec{n}$ vektörü üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğu $0$ birimdir. Bu, iki vektörün birbirine dik olduğunu bir kez daha doğrular.

Cevap A seçeneğidir.