$\vec{a} = (4, -3)$ vektörü ile aynı yöndeki birim vektör aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$
B) $\left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$
C) $\left(\frac{4}{7}, -\frac{3}{7}\right)$
D) $\left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{3}\right)$
Sevgili öğrenciler, bir vektörle aynı yöndeki birim vektörü bulmak, o vektörün yönünü koruyarak uzunluğunu 1 birime indirmek demektir. Bunu yapmak için vektörü kendi büyüklüğüne (uzunluğuna) böleriz. Şimdi adım adım bu işlemi gerçekleştirelim:
- 1. Adım: Verilen Vektörün Büyüklüğünü (Uzunluğunu) Hesaplayalım.
- Bir $\vec{v} = (x, y)$ vektörünün büyüklüğü (ya da uzunluğu) $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ formülü ile bulunur.
- Bizim vektörümüz $\vec{a} = (4, -3)$ olduğuna göre, $x=4$ ve $y=-3$'tür.
- Vektörün büyüklüğünü hesaplayalım: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2}$.
- $|\vec{a}| = \sqrt{16 + 9}$.
- $|\vec{a}| = \sqrt{25}$.
- $|\vec{a}| = 5$.
- Yani, $\vec{a}$ vektörünün uzunluğu 5 birimdir.
- 2. Adım: Birim Vektörü Bulalım.
- Bir $\vec{a}$ vektörü ile aynı yöndeki birim vektör $\hat{u} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ formülü ile bulunur. Bu, vektörün her bir bileşenini kendi büyüklüğüne bölmek anlamına gelir.
- Vektörümüz $\vec{a} = (4, -3)$ ve büyüklüğü $|\vec{a}| = 5$ idi.
- Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: $\hat{u} = \frac{(4, -3)}{5}$.
- Bu işlemi her bir bileşen için ayrı ayrı yaparsak: $\hat{u} = \left(\frac{4}{5}, \frac{-3}{5}\right)$.
- Birim vektörümüz $\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ olarak bulunur.
- 3. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım.
- Bulduğumuz birim vektörü seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin $\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
