İki benzer dikdörtgenin çevreleri oranı \( \frac{3}{4} \)'tür. Küçük dikdörtgenin alanı 54 cm² olduğuna göre, büyük dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 72Bu soruda, benzer dikdörtgenlerin çevreleri ve alanları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Benzer şekillerde, çevrelerin oranı ile alanların oranı arasında önemli bir bağlantı vardır. Haydi adım adım bu bağlantıyı keşfedelim ve sorumuzu çözelim!
İki benzer dikdörtgenin çevreleri oranı $ \frac{3}{4} $ olarak verilmiş. Benzer şekillerde, çevrelerin oranı aynı zamanda benzerlik oranıdır ($k$). Yani, küçük dikdörtgenin çevresinin büyük dikdörtgenin çevresine oranı $k = \frac{3}{4}$'tür.
Bu durumda, $k = \frac{\text{Küçük Dikdörtgenin Çevresi}}{\text{Büyük Dikdörtgenin Çevresi}} = \frac{3}{4}$.
Benzer şekillerde, alanların oranı benzerlik oranının karesine eşittir ($k^2$). Bu çok önemli bir kuraldır!
Yani, $ \frac{\text{Küçük Dikdörtgenin Alanı}}{\text{Büyük Dikdörtgenin Alanı}} = k^2 $ olacaktır.
Biz $k = \frac{3}{4}$ olarak bulmuştuk. Şimdi bu değeri yerine koyalım:
$ \frac{\text{Küçük Dikdörtgenin Alanı}}{\text{Büyük Dikdörtgenin Alanı}} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $.
Küçük dikdörtgenin alanı $54 \text{ cm}^2$ olarak verilmişti. Alanlar oranını da $ \frac{9}{16} $ olarak bulduk. Şimdi bu bilgileri kullanarak büyük dikdörtgenin alanını bulabiliriz.
$ \frac{54}{\text{Büyük Dikdörtgenin Alanı}} = \frac{9}{16} $
Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:
$ 9 \times \text{Büyük Dikdörtgenin Alanı} = 54 \times 16 $
Şimdi büyük dikdörtgenin alanını yalnız bırakalım:
$ \text{Büyük Dikdörtgenin Alanı} = \frac{54 \times 16}{9} $
Sadeleştirme yapalım: $54$ sayısı $9$'a bölünür ve $6$ eder.
$ \text{Büyük Dikdörtgenin Alanı} = 6 \times 16 $
$ \text{Büyük Dikdörtgenin Alanı} = 96 \text{ cm}^2 $.
Böylece büyük dikdörtgenin alanını $96 \text{ cm}^2$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
