9. Sınıf g(x) = |x| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri Nedir? Test 2

\( g(x) = |x| \) fonksiyonu ile ilgili olarak:
I. Minimum değeri 0'dır
II. Artandır
III. Bire birdir
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) I, II ve III

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer fonksiyonu olan $g(x) = |x|$ ile ilgili verilen ifadelerin doğruluğunu adım adım inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun özelliklerini anlamak, matematikteki temel becerilerden biridir.

• Fonksiyonu Anlayalım:

  Öncelikle, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun ne anlama geldiğini hatırlayalım. Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Bu nedenle, bir sayının mutlak değeri her zaman pozitif veya sıfırdır. Örneğin, $|3| = 3$, $|-3| = 3$ ve $|0| = 0$ olur.

• I. İfadeyi İnceleyelim: "Minimum değeri 0'dır"

  Mutlak değerin tanımından yola çıkarak, herhangi bir $x$ değeri için $|x| \ge 0$ olduğunu biliyoruz. Yani, mutlak değer asla negatif bir değer alamaz. Mutlak değerin alabileceği en küçük değer 0'dır ve bu değer $x=0$ iken elde edilir. Örneğin, $g(0) = |0| = 0$. Diğer tüm $x$ değerleri için $g(x)$ pozitif olacaktır. Bu durumda, fonksiyonun minimum değeri 0'dır.

  Bu ifade DOĞRUDUR.

• II. İfadeyi İnceleyelim: "Artandır"

  Bir fonksiyonun artan olması için, tanım kümesindeki her $x_1 < x_2$ değeri için $f(x_1) < f(x_2)$ koşulunu sağlaması gerekir. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de artmalıdır.

  $g(x) = |x|$ fonksiyonunu düşünelim:

  • Negatif $x$ değerleri için (örneğin $x < 0$): $x$ değeri arttıkça (yani sıfıra yaklaştıkça) $g(x)$ değeri azalır. Örneğin, $x_1 = -3$ ve $x_2 = -1$ alalım. $x_1 < x_2$ iken, $g(-3) = |-3| = 3$ ve $g(-1) = |-1| = 1$ olur. Burada $g(x_1) > g(x_2)$ olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.
  • Pozitif $x$ değerleri için (örneğin $x > 0$): $x$ değeri arttıkça $g(x)$ değeri de artar. Örneğin, $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ alalım. $x_1 < x_2$ iken, $g(1) = |1| = 1$ ve $g(3) = |3| = 3$ olur. Burada $g(x_1) < g(x_2)$ olduğu için fonksiyon bu aralıkta artandır.

  Fonksiyonun tanım kümesinin tamamında artan olmadığı için (negatif kısımda azalan olduğu için), bu ifade YANLIŞTIR.

• III. İfadeyi İnceleyelim: "Bire birdir"

  Bir fonksiyonun bire bir (one-to-one) olması için, tanım kümesindeki farklı her $x_1$ ve $x_2$ değeri için $f(x_1) \ne f(x_2)$ koşulunu sağlaması gerekir. Yani, farklı $x$ değerleri her zaman farklı $y$ değerlerine eşleşmelidir.

  $g(x) = |x|$ fonksiyonunu düşünelim:

  Örneğin, $x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$ değerlerini alalım. Bu iki $x$ değeri birbirinden farklıdır ($x_1 \ne x_2$).

  • $g(x_1) = g(-2) = |-2| = 2$
  • $g(x_2) = g(2) = |2| = 2$

  Gördüğümüz gibi, farklı $x$ değerleri olan $-2$ ve $2$, aynı $y$ değerine, yani $2$'ye eşleşmiştir ($g(x_1) = g(x_2)$). Bu durum, fonksiyonun bire bir olmadığı anlamına gelir.

  Bu ifade YANLIŞTIR.

Sonuç olarak, verilen ifadelerden sadece I. ifade doğrudur.

Cevap A seçeneğidir.