\( g(x) = |x| \) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Periyodik fonksiyondur
B) Birebir fonksiyondur
C) Örten fonksiyondur
D) Ters fonksiyonu vardır
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda $g(x) = |x|$ fonksiyonunun özelliklerini inceleyeceğiz. Her bir seçeneği adım adım değerlendirelim.
- A) Periyodik fonksiyondur
- Bir fonksiyonun periyodik olması için, sıfırdan farklı bir $T$ sayısı olmalı ve tanım kümesindeki her $x$ için $g(x+T) = g(x)$ eşitliği sağlanmalıdır. Yani fonksiyon belirli aralıklarla kendini tekrar etmelidir.
- $g(x) = |x|$ fonksiyonunu düşünelim. Örneğin, $g(2) = |2| = 2$ ve $g(-2) = |-2| = 2$ değerlerini alır. Ancak, $x$ değeri büyüdükçe $|x|$ değeri de büyür (pozitif ve negatif yönlerde).
- Eğer $g(x) = |x|$ periyodik olsaydı, örneğin $T$ periyodu için $|x+T| = |x|$ olmalıydı.
- $x=0$ için $|T| = |0| \Rightarrow T=0$ olurdu, bu da periyot tanımına uymaz ($T > 0$ olmalı).
- $x=1$ için $|1+T| = |1| \Rightarrow 1+T=1$ (çünkü $T>0$ olduğu için $1+T>0$) $\Rightarrow T=0$ olurdu, bu da yine periyot tanımına uymaz.
- Genel olarak, $|x|$ fonksiyonu, $x$ ekseninden uzaklaştıkça değerleri sürekli artan bir yapıya sahiptir (sıfır hariç). Bu nedenle, belirli bir $T$ değeri için kendini tekrar etmez.
- Sonuç olarak, $g(x) = |x|$ periyodik bir fonksiyon değildir.
- B) Birebir fonksiyondur
- Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır. Yani, $x_1 \ne x_2$ ise $g(x_1) \ne g(x_2)$ olmalıdır. Veya eşdeğer olarak, $g(x_1) = g(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır.
- $g(x) = |x|$ fonksiyonu için örnek verelim:
- $g(2) = |2| = 2$
- $g(-2) = |-2| = 2$
- Burada $2 \ne -2$ olmasına rağmen, $g(2) = g(-2) = 2$ olmuştur. Yani farklı $x$ değerleri aynı $y$ değerini vermiştir.
- Bu durum, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun birebir olmadığını gösterir.
- C) Örten fonksiyondur
- Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki (kodomain) her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olmalıdır. Yani, değer kümesindeki her $y$ elemanı için, $g(x) = y$ olacak şekilde en az bir $x$ elemanı bulunmalıdır.
- $g(x) = |x|$ fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar ($R$) ve görüntü kümesi (fonksiyonun alabileceği tüm değerler) $[0, \infty)$ aralığıdır, yani tüm negatif olmayan reel sayılardır.
- Eğer fonksiyonun değer kümesi (kodomain) belirtilmemişse, genellikle fonksiyonun görüntü kümesi olarak kabul edilir. Bu durumda, $g: R \to [0, \infty)$ olarak düşünebiliriz.
- Bu kabulle, görüntü kümesindeki her $y \ge 0$ değeri için, $g(x) = y$ olacak şekilde bir $x$ değeri bulabiliriz. Örneğin:
- Eğer $y=5$ ise, $g(5)=|5|=5$ veya $g(-5)=|-5|=5$ olduğundan $x=5$ veya $x=-5$ alınabilir.
- Eğer $y=0$ ise, $g(0)=|0|=0$ olduğundan $x=0$ alınabilir.
- Görüldüğü gibi, negatif olmayan her reel sayı için bir $x$ değeri bulabiliyoruz. Bu durumda, fonksiyon kendi görüntü kümesi üzerine örtendir. Matematikte, bir fonksiyonun örten olup olmadığı sorulduğunda ve değer kümesi açıkça belirtilmediğinde, genellikle fonksiyonun görüntü kümesi üzerine örten olup olmadığı kastedilir.
- Bu nedenle, $g(x) = |x|$ fonksiyonu örtendir (kendi görüntü kümesi olan $[0, \infty)$ üzerine).
- D) Ters fonksiyonu vardır
- Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, o fonksiyonun hem birebir (injective) hem de örten (surjective) olması gerekir. Bu tür fonksiyonlara birebir ve örten (bijection) fonksiyon denir.
- Yukarıda B seçeneğinde açıkladığımız gibi, $g(x) = |x|$ fonksiyonu birebir değildir.
- Birebir olmadığı için, ters fonksiyonu da yoktur. (Ancak, tanım kümesi kısıtlandığında, örneğin $x \ge 0$ için, tersi olabilir. Ama soru genel olarak $g(x)=|x|$ fonksiyonu için sorulmuştur.)
Yukarıdaki analizlerimize göre, $g(x) = |x|$ fonksiyonu için doğru olan ifade C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
