Üç boyutlu uzayda $\vec{r} = (3, 0, 4)$ vektörü veriliyor. Bu vektörün birim vektörü ile orijinal vektör arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birim vektörün büyüklüğü 5'tirMerhaba sevgili öğrenciler!
Bugün üç boyutlu uzayda vektörler ve birim vektör kavramını inceleyeceğiz. Soruda bize verilen bir vektörün birim vektörü ile olan ilişkisini adım adım bulalım.
Bize verilen vektör $\vec{r} = (3, 0, 4)$'tür. Birim vektör, bir vektörle aynı yöne sahip olan ancak büyüklüğü (uzunluğu) 1 olan vektördür. Bir $\vec{v}$ vektörünün birim vektörü $\hat{u}$ şu şekilde bulunur:
$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
Burada $|\vec{v}|$, $\vec{v}$ vektörünün büyüklüğünü (şiddetini) ifade eder.
Bir $\vec{v} = (x, y, z)$ vektörünün büyüklüğü $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ formülü ile hesaplanır.
Bizim vektörümüz $\vec{r} = (3, 0, 4)$ olduğuna göre, büyüklüğü:
$|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}$
$|\vec{r}| = \sqrt{9 + 0 + 16}$
$|\vec{r}| = \sqrt{25}$
$|\vec{r}| = 5$ birimdir.
Şimdi birim vektör formülünü kullanarak $\vec{r}$ vektörünün birim vektörünü bulalım:
$\hat{u} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{(3, 0, 4)}{5}$
$\hat{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{0}{5}, \frac{4}{5}\right)$
$\hat{u} = (0.6, 0, 0.8)$
Birim vektörün tanımı gereği, büyüklüğü her zaman 1'dir. Hesapladığımız birim vektörün büyüklüğünü kontrol edelim:
$|\hat{u}| = \sqrt{(0.6)^2 + 0^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$.
Bu nedenle A seçeneği yanlıştır.
Eğer iki vektör birbirine dikse, iç çarpımları (nokta çarpımları) sıfır olmalıdır. $\vec{r}$ ve $\hat{u}$ vektörlerinin iç çarpımını hesaplayalım:
$\vec{r} \cdot \hat{u} = (3, 0, 4) \cdot \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$
$\vec{r} \cdot \hat{u} = (3 \cdot \frac{3}{5}) + (0 \cdot 0) + (4 \cdot \frac{4}{5})$
$\vec{r} \cdot \hat{u} = \frac{9}{5} + 0 + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5$
İç çarpım sıfır olmadığı için vektörler birbirine dik değildir. Ayrıca, birim vektör tanımı gereği orijinal vektörle aynı yöne sahiptir, bu yüzden dik olmaları mümkün değildir (sıfır vektör hariç).
Bu nedenle B seçeneği yanlıştır.
Birim vektörün tanımına göre, bir vektörün birim vektörü, orijinal vektörün yönünü koruyarak sadece büyüklüğünü 1'e indirger. Yani, orijinal vektör ve onun birim vektörü her zaman aynı yöne sahiptir.
Bu nedenle C seçeneği doğrudur.
Birim vektörün bileşenlerini $(0.6, 0, 0.8)$ olarak hesapladık. Bu bileşenler $(3, 0, 4)$ değildir.
Bu nedenle D seçeneği yanlıştır.
Tüm adımları tamamladığımızda, doğru seçeneğin C olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
