Aralarında Asal Sayılar Nedir? Test 1

Bir çiftçi tarlasını dikdörtgen şeklinde eş parsellere ayırıyor. Parsellerin kenar uzunlukları metre cinsinden aralarında asal sayılardır. Alanı 63 m² olan bir parselin çevresi kaç metredir?

A) 24
B) 28
C) 32
D) 36

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, dikdörtgen şeklindeki bir parselin alanını ve kenar uzunlukları hakkında önemli bir bilgiyi kullanarak çevresini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve her detayı anlayalım.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım

• Bize verilenler şunlar:

  • Parsel dikdörtgen şeklindedir.
  • Alanı $63 \text{ m}^2$'dir.
  • Kenar uzunlukları (metre cinsinden) "aralarında asal" sayılardır.

  Dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ($a$) ile kısa kenarının ($b$) çarpımına eşittir. Yani, $A = a \times b$.

  Bizim durumumuzda, $a \times b = 63 \text{ m}^2$ olmalıdır.

• Adım 2: Alanı $63 \text{ m}^2$ Olan Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarını Bulalım

• Şimdi, çarpımları 63 olan tüm tam sayı çiftlerini bulalım. Bu sayılar, dikdörtgenin kenar uzunlukları olabilir:

  • $1 \times 63 = 63$
  • $3 \times 21 = 63$
  • $7 \times 9 = 63$

  Bu durumda, olası kenar uzunlukları çiftleri $(1, 63)$, $(3, 21)$ ve $(7, 9)$'dur.

• Adım 3: "Aralarında Asal" Olma Koşulunu Uygulayalım

• Problemde kenar uzunluklarının "aralarında asal" olduğu belirtilmiş. Peki, aralarında asal ne demektir?

  İki sayının aralarında asal olması demek, 1'den başka hiçbir ortak bölenlerinin olmaması demektir. Şimdi bulduğumuz kenar uzunluğu çiftlerini bu kurala göre inceleyelim:

  • $(1, 63)$ çifti: 1 ve 63 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 1 ve 63 sayıları aralarında asaldır. Bu çift, kenar uzunlukları için geçerli bir seçenektir.
  • $(3, 21)$ çifti: 3 ve 21 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 3'tür. 1'den başka ortak bölenleri (3) olduğu için bu sayılar aralarında asal değildir. Bu çift, kenar uzunlukları için geçerli değildir.
  • $(7, 9)$ çifti: 7 ve 9 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 7 ve 9 sayıları aralarında asaldır. Bu çift de, kenar uzunlukları için geçerli bir seçenektir.

  Bu durumda, parselin kenar uzunlukları ya $1 \text{ m}$ ve $63 \text{ m}$ ya da $7 \text{ m}$ ve $9 \text{ m}$ olabilir.

• Adım 4: Geçerli Kenar Uzunlukları İçin Çevreyi Hesaplayalım

• Dikdörtgenin çevresi, $P = 2 \times (a + b)$ formülüyle bulunur. Şimdi her iki geçerli kenar çifti için çevreyi hesaplayalım:

  • Durum 1: Kenarlar $1 \text{ m}$ ve $63 \text{ m}$ ise
  • Çevre $= 2 \times (1 + 63) = 2 \times 64 = 128 \text{ m}$.
  • Durum 2: Kenarlar $7 \text{ m}$ ve $9 \text{ m}$ ise
  • Çevre $= 2 \times (7 + 9) = 2 \times 16 = 32 \text{ m}$.
• Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim ve Doğru Cevabı Bulalım

• Bulduğumuz çevre değerleri $128 \text{ m}$ ve $32 \text{ m}$'dir. Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) 24
  • B) 28
  • C) 32
  • D) 36

  Seçenekler arasında $32 \text{ m}$ değeri bulunmaktadır. Bu durumda, parselin kenar uzunlukları $7 \text{ m}$ ve $9 \text{ m}$ olmalıdır.

Cevap C seçeneğidir.