Bu soruda, yatay atılan bir cismin belirli bir andaki hızının büyüklüğünü bulmamız isteniyor. Öncelikle verilen bilgileri ve cismin hareket özelliklerini adım adım inceleyelim.
- Verilenler:
- Başlangıç yüksekliği $h = 50 \text{ m}$
- Yatay atılma hızı $v_{x0} = 25 \text{ m/s}$
- Yer çekimi ivmesi $g = 10 \text{ m/s}^2$
- Cismin Hareketi: Yatay atış hareketinde cismin hızı iki bileşene ayrılır: yatay hız ($v_x$) ve düşey hız ($v_y$).
- Yatay Hız Bileşeni ($v_x$): Hava sürtünmesi ihmal edildiği için yatay hız bileşeni hareket boyunca sabit kalır. Bu nedenle, herhangi bir $t$ anında yatay hızımız $v_x = v_{x0} = 25 \text{ m/s}$ olacaktır.
- Düşey Hız Bileşeni ($v_y$): Cisim yatay atıldığı için başlangıçta düşey hızı yoktur ($v_{y0} = 0$). Yer çekimi ivmesi nedeniyle düşey hızı zamanla artar. Herhangi bir $t$ anında düşey hızımız $v_y = v_{y0} + gt = 0 + gt = gt$ formülüyle bulunur.
- Sorudaki Özel Koşulun Yorumlanması: "Yatay ve düşey hız vektörlerinin birbirine dik olduğu an" ifadesi, bu tür problemlerde genellikle yatay hız bileşeninin büyüklüğünün düşey hız bileşeninin büyüklüğüne eşit olduğu anı ($|v_x| = |v_y|$) ifade etmek için kullanılır. Çünkü $v_x$ ve $v_y$ bileşenleri zaten her zaman birbirine diktir. Bu özel durumda, cismin anlık hız vektörü yatayla $45^\circ$ açı yapar.
- Zamanı Bulma: Bu yoruma göre, $v_x = v_y$ eşitliğini kullanarak bu anın ne zaman gerçekleştiğini bulalım:
- $25 = gt$
- $25 = 10t$
- $t = \frac{25}{10} = 2.5 \text{ s}$
Bu anda cismin hala havada olup olmadığını kontrol edelim. $2.5 \text{ s}$ içinde düşeyde aldığı yol:
- $y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}(10)(2.5)^2 = 5 \times 6.25 = 31.25 \text{ m}$
Cismin başlangıç yüksekliği $50 \text{ m}$ olduğundan ($31.25 \text{ m} < 50 \text{ m}$), cisim $2.5 \text{ s}$ anında hala havadadır.
- Hızın Büyüklüğünü Bulma: $t = 2.5 \text{ s}$ anında hız bileşenleri şunlardır:
- Yatay hız: $v_x = 25 \text{ m/s}$
- Düşey hız: $v_y = gt = 10 \times 2.5 = 25 \text{ m/s}$
Cismin anlık hızının büyüklüğü ($V$), yatay ve düşey hız bileşenlerinin vektörel toplamının büyüklüğüdür ve Pisagor bağıntısı ile bulunur:
- $V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
- $V = \sqrt{25^2 + 25^2}$
- $V = \sqrt{2 \times 25^2}$
- $V = 25\sqrt{2} \text{ m/s}$
Cevap A seçeneğidir.
