Bir çemberin çevresi 36π cm ve merkez açısı 120° olan bir daire diliminin alanı kaç cm²'dir?
A) 27πMerhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle bir çemberin çevresi ve daire diliminin alanı ile ilgili harika bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl kolayca çözebileceğinizi göreceksiniz. Haydi başlayalım!
Soruda bize çemberin çevresi $36\pi$ cm olarak verilmiş. Bir çemberin çevresi, $Ç = 2\pi r$ formülü ile bulunur. Burada $r$ çemberin yarıçapıdır.
Verilen bilgiyi formülde yerine yazalım:
$36\pi = 2\pi r$
Şimdi $r$'yi yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını $2\pi$'ye bölelim:
$r = \frac{36\pi}{2\pi}$
$r = 18$ cm
Demek ki çemberimizin yarıçapı $18$ cm'dir. Bu, daire diliminin alanını bulmak için çok önemli bir bilgi!
Daire diliminin alanını bulmadan önce, tam dairenin alanını hesaplamamız gerekiyor. Bir dairenin alanı, $A = \pi r^2$ formülü ile bulunur.
Bulduğumuz yarıçap değerini ($r = 18$ cm) formülde yerine yazalım:
$A = \pi (18)^2$
$A = \pi \times 324$
$A = 324\pi$ cm$^2$
Şu an elimizde tam dairenin alanı var. Harika gidiyoruz!
Şimdi sıra geldi asıl sorumuza, yani $120^\circ$ merkez açısı olan daire diliminin alanını bulmaya. Bir daire diliminin alanı, tam dairenin alanının, merkez açının $360^\circ$'ye oranına eşittir. Formülü şöyle ifade edebiliriz:
$A_{dilim} = A_{tam} \times \frac{\text{merkez açı}}{360^\circ}$
Bulduğumuz tam daire alanını ($A_{tam} = 324\pi$ cm$^2$) ve soruda verilen merkez açıyı ($120^\circ$) formülde yerine yazalım:
$A_{dilim} = 324\pi \times \frac{120^\circ}{360^\circ}$
Kesri sadeleştirelim: $\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$
Şimdi bu oranı tam daire alanıyla çarpalım:
$A_{dilim} = 324\pi \times \frac{1}{3}$
$A_{dilim} = \frac{324\pi}{3}$
$A_{dilim} = 108\pi$ cm$^2$
İşte bu kadar! Daire diliminin alanını $108\pi$ cm$^2$ olarak bulduk.
Gördüğünüz gibi, adımları takip ederek ve doğru formülleri kullanarak bu tür problemleri kolayca çözebiliriz. Unutmayın, geometri problemleri genellikle birbiriyle bağlantılı bilgileri içerir ve her adım bir sonraki için temel oluşturur.
Cevap D seçeneğidir.
