Merkezi O noktası olan bir çemberde, A ve B noktaları çember üzerindedir. m(AOB) = 60° ve |OA| = 12 cm olduğuna göre, AB yayının uzunluğu kaç π cm'dir?
A) 2πSevgili öğrenciler, bu soruda bir çemberde verilen merkez açı ve yarıçap bilgileriyle bir yay uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
Çemberin merkezi $O$ noktasıdır.
$A$ ve $B$ noktaları çember üzerindedir.
Merkez açı $m(\text{AOB}) = 60^\circ$ olarak verilmiş. Bu açı, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki yayı gören merkez açıdır.
Çemberin yarıçapı $|\text{OA}| = 12$ cm olarak verilmiş. ($|\text{OA}|$ aynı zamanda $r$ ile gösterilir.)
Bizden istenen ise $AB$ yayının uzunluğudur.
Bir çemberin çevresi (tüm uzunluğu), yarıçapı $r$ olmak üzere $C = 2\pi r$ formülüyle bulunur.
Bizim çemberimizin yarıçapı $r = 12$ cm olduğuna göre, çevresi:
$C = 2\pi (12) = 24\pi$ cm olur.
Bir çemberde herhangi bir yayın uzunluğu, o yayı gören merkez açının çemberin tamamının açısına ($360^\circ$) oranının, çemberin çevresiyle çarpılmasıyla bulunur.
Formül şu şekildedir:
$\text{Yay Uzunluğu} = \text{Çemberin Çevresi} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ}$
Veya doğrudan:
$\text{Yay Uzunluğu} = 2\pi r \times \frac{\theta}{360^\circ}$
Burada $\theta$ merkez açıyı temsil eder.
Elimizdeki değerler:
$r = 12$ cm
$\theta = 60^\circ$
Şimdi bu değerleri yay uzunluğu formülüne yerleştirelim:
$\text{AB Yayının Uzunluğu} = 2\pi (12) \times \frac{60^\circ}{360^\circ}$
Önce kesirli ifadeyi sadeleştirelim:
$\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}$
Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım:
$\text{AB Yayının Uzunluğu} = 2\pi (12) \times \frac{1}{6}$
$\text{AB Yayının Uzunluğu} = 24\pi \times \frac{1}{6}$
$\text{AB Yayının Uzunluğu} = \frac{24\pi}{6}$
$\text{AB Yayının Uzunluğu} = 4\pi$ cm
Buna göre, AB yayının uzunluğu $4\pi$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
