(x - 1)(x + 3) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki sayı doğrularından hangisinde doğru olarak gösterilmiştir?
A) -3 ve 1 noktalarında boş daire, arası taranmış
B) -3 ve 1 noktalarında boş daire, dışarısı taranmış
C) -3 ve 1 noktalarında dolu daire, arası taranmış
D) -3 ve 1 noktalarında dolu daire, dışarısı taranmış
Merhaba sevgili öğrenciler! Eşitsizlikleri çözmek, matematikte çok önemli bir beceridir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.
- Adım 1: Eşitsizliğin Köklerini Bulma
- Öncelikle, eşitsizliği bir denklem gibi düşünerek köklerini bulmalıyız. Yani, $(x - 1)(x + 3) = 0$ denklemini çözmeliyiz.
- Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda:
- $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
- $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
- Bu $x = -3$ ve $x = 1$ değerleri, eşitsizliğimizin "kritik noktaları" veya "sınır noktaları"dır. Bu noktalar, sayı doğrusunu farklı bölgelere ayırır.
- Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma veya Aralıkları Test Etme
- Bulduğumuz kritik noktaları ($-3$ ve $1$) sayı doğrusuna yerleştirdiğimizde, sayı doğrusu üç ana bölgeye ayrılır:
- $x < -3$
- $-3 < x < 1$
- $x > 1$
- Şimdi, bu bölgelerden rastgele birer sayı seçerek eşitsizliğimizin $(x - 1)(x + 3) > 0$ bu bölgelerde pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu kontrol edelim:
- Bölge 1: $x < -3$ (Örneğin, $x = -4$ alalım)
- $(-4 - 1)(-4 + 3) = (-5)(-1) = 5$
- $5 > 0$ olduğu için bu bölge eşitsizliği sağlar. Yani, bu bölge çözüm kümemize dahildir.
- Bölge 2: $-3 < x < 1$ (Örneğin, $x = 0$ alalım)
- $(0 - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3$
- $-3 > 0$ olmadığı için bu bölge eşitsizliği sağlamaz. Yani, bu bölge çözüm kümemize dahil değildir.
- Bölge 3: $x > 1$ (Örneğin, $x = 2$ alalım)
- $(2 - 1)(2 + 3) = (1)(5) = 5$
- $5 > 0$ olduğu için bu bölge eşitsizliği sağlar. Yani, bu bölge çözüm kümemize dahildir.
- Adım 3: Kritik Noktaların Çözüm Kümesine Dahil Olup Olmadığını Belirleme
- Eşitsizliğimiz $(x - 1)(x + 3) > 0$ şeklindedir. Burada "büyüktür" ($>$) işareti olduğu için, kritik noktalarımız olan $x = -3$ ve $x = 1$ çözüm kümesine dahil değildir. Eğer eşitsizlik "büyük veya eşittir" ($\ge$) olsaydı, bu noktalar da dahil olurdu.
- Çözüm kümesine dahil olmayan noktalar sayı doğrusunda boş daire ile gösterilir.
- Adım 4: Çözüm Kümesini Sayı Doğrusunda Gösterme
- Yaptığımız testlere göre, eşitsizliğimiz $x < -3$ ve $x > 1$ bölgelerinde sağlanmaktadır. Kritik noktalarımız olan $-3$ ve $1$ ise çözüm kümesine dahil değildir (boş daire).
- Bu durum, sayı doğrusunda $-3$ ve $1$ noktalarında boş daireler çizilip, bu noktaların dışındaki bölgelerin (yani $x < -3$ ve $x > 1$ bölgelerinin) taranmasıyla gösterilir.
Bu açıklamalara göre, seçenekleri incelediğimizde:
- A) -3 ve 1 noktalarında boş daire, arası taranmış (Yanlış, arası değil dışarısı taranmalı)
- B) -3 ve 1 noktalarında boş daire, dışarısı taranmış (Doğru, hem boş daire hem de dışarısı taranmış)
- C) -3 ve 1 noktalarında dolu daire, arası taranmış (Yanlış, dolu daire olmamalı ve arası taranmamalı)
- D) -3 ve 1 noktalarında dolu daire, dışarısı taranmış (Yanlış, dolu daire olmamalı)
Cevap B seçeneğidir.
