Özdeş ve türdeş katı cisimler, kesit alanları \( 2S \) ve \( S \) olan kaplarda şekildeki gibi dengededir. Kaplardaki sıvıların yoğunlukları sırasıyla \( 3d \) ve \( d \) olduğuna göre, cisimlere etki eden kaldırma kuvvetleri oranı \( F_1 / F_2 \) kaçtır?
A) 1Bir cisme etki eden kaldırma kuvveti ($F_K$), cismin batan hacmi ($V_{batan}$) kadar sıvının ağırlığına eşittir. Bu prensip Arşimet Prensibi olarak bilinir ve matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
$F_K = V_{batan} \cdot \rho_{sıvı} \cdot g$
Burada $\rho_{sıvı}$ sıvının yoğunluğu ve $g$ yerçekimi ivmesidir.
Soruda cisimlerin "özdeş ve türdeş" olduğu belirtilmiştir. Bu, her iki cismin de aynı kütleye ($m$) ve aynı toplam hacme ($V_{cisim}$) sahip olduğu anlamına gelir.
Eğer cisimler yüzüyor olsaydı (yani kısmen batmış olsaydı), her birine etki eden kaldırma kuvveti kendi ağırlığına eşit olurdu ($F_K = G_{cisim}$). Bu durumda, özdeş cisimler için kaldırma kuvvetleri oranı $F_1/F_2 = 1$ olurdu. Ancak, verilen seçenekler ve bu tür sorularda yaygın olan yaklaşım göz önüne alındığında, cisimlerin *tamamen batırıldığı* durumdaki kaldırma kuvvetlerinin karşılaştırılması istenmektedir. Bu durumda, her iki cismin de batan hacmi, kendi toplam hacmine ($V_{cisim}$) eşit olacaktır.
Cisimler özdeş olduğu için toplam hacimlerini $V_{cisim}$ olarak alalım. Tamamen batırıldıklarında, batan hacimleri de $V_{cisim}$ olacaktır.
Sıvının yoğunluğu $\rho_{sıvı1} = 3d$.
Cisme etki eden kaldırma kuvveti:
$F_1 = V_{batan1} \cdot \rho_{sıvı1} \cdot g = V_{cisim} \cdot (3d) \cdot g$
Sıvının yoğunluğu $\rho_{sıvı2} = d$.
Cisme etki eden kaldırma kuvveti:
$F_2 = V_{batan2} \cdot \rho_{sıvı2} \cdot g = V_{cisim} \cdot (d) \cdot g$
Şimdi $F_1 / F_2$ oranını bulalım:
$F_1 / F_2 = \frac{V_{cisim} \cdot (3d) \cdot g}{V_{cisim} \cdot (d) \cdot g}$
Bu ifadede $V_{cisim}$, $d$ ve $g$ terimleri hem pay hem de paydada bulunduğundan sadeleşir.
$F_1 / F_2 = \frac{3d}{d} = 3$
Cevap C seçeneğidir.
