6. sınıf matematik doğal sayıları asal çarpanlarına ayırma soru çözümü Test 1

Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayı 150'den küçük olduğuna göre, bu sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 120
B) 135
C) 140
D) 145

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan ve 150'den küçük en büyük sayıyı bulmamız isteniyor. Adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Adım: Soruyu Anlamak

  "Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir" ifadesi, o sayının asal çarpanlara ayrıldığında sadece 2, 3 ve 5 asal sayılarını içerebileceği anlamına gelir. Başka bir deyişle, sayının asal çarpanları kümesi $\{2, 3, 5\}$ kümesinin bir alt kümesi olmalıdır (yani 7, 11 gibi başka bir asal çarpanı olamaz). Ancak bu, 2, 3 ve 5'in hepsinin aynı anda sayıda bulunması gerektiği anlamına gelmez. Örneğin, asal çarpanları 3 ve 5 olan bir sayı da bu koşulu sağlar çünkü 2, 3 ve 5 dışındaki bir asal çarpanı yoktur.

  Bu durumda, aradığımız sayı $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ şeklinde olmalıdır, burada $a, b, c$ sıfır veya pozitif tam sayılar olabilir (ancak hepsi birden sıfır olamaz, aksi takdirde sayı 1 olur ve asal çarpanı olmaz).

• 2. Adım: Sayının Genel Formunu Belirlemek ve Sınırı Uygulamak

  Aradığımız sayı $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ formundadır ve $N < 150$ olmalıdır. En büyük değeri bulmak için, 150'ye en yakın olan sayıları denememiz gerekiyor.

• 3. Adım: Farklı Durumları İncelemek (5'in Kuvvetine Göre)

  Sayıyı 150'ye yaklaştırmak için, en büyük asal çarpan olan 5'in kuvvetinden başlayarak denemeler yapalım:

  • Durum 1: $c=1$ (yani sayıda bir tane 5 çarpanı var)

    Sayı $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^1$ şeklinde olacaktır.

    Koşulumuz $2^a \cdot 3^b \cdot 5 < 150$ idi. Her iki tarafı 5'e bölersek:

    $2^a \cdot 3^b < 30$ olmalıdır.

    Şimdi $a$ ve $b$ için farklı değerler deneyerek 30'a en yakın $2^a \cdot 3^b$ çarpımını bulalım:

    • $a=0, b=1 \implies 3^1 = 3 \implies N = 3 \cdot 5 = 15$
    • $a=0, b=2 \implies 3^2 = 9 \implies N = 9 \cdot 5 = 45$
    • $a=0, b=3 \implies 3^3 = 27 \implies N = 27 \cdot 5 = 135$. (Bu sayı 150'den küçüktür ve asal çarpanları 3 ve 5'tir.)
    • $a=0, b=4 \implies 3^4 = 81$ (Bu $30$'dan büyük olduğu için $N = 81 \cdot 5 = 405$ olur, bu da 150'den büyüktür.)
    • $a=1, b=0 \implies 2^1 = 2 \implies N = 2 \cdot 5 = 10$
    • $a=1, b=1 \implies 2^1 \cdot 3^1 = 6 \implies N = 6 \cdot 5 = 30$
    • $a=1, b=2 \implies 2^1 \cdot 3^2 = 18 \implies N = 18 \cdot 5 = 90$
    • $a=2, b=0 \implies 2^2 = 4 \implies N = 4 \cdot 5 = 20$
    • $a=2, b=1 \implies 2^2 \cdot 3^1 = 12 \implies N = 12 \cdot 5 = 60$
    • $a=2, b=2 \implies 2^2 \cdot 3^2 = 36$ (Bu $30$'dan büyük olduğu için $N = 36 \cdot 5 = 180$ olur, bu da 150'den büyüktür.)
    • $a=3, b=0 \implies 2^3 = 8 \implies N = 8 \cdot 5 = 40$
    • $a=3, b=1 \implies 2^3 \cdot 3^1 = 24 \implies N = 24 \cdot 5 = 120$
    • $a=4, b=0 \implies 2^4 = 16 \implies N = 16 \cdot 5 = 80$

    Bu durumda bulduğumuz en büyük sayı 135'tir.

  • Durum 2: $c=2$ (yani sayıda iki tane 5 çarpanı var)

    Sayı $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^2$ şeklinde olacaktır.

    Koşulumuz $2^a \cdot 3^b \cdot 25 < 150$ idi. Her iki tarafı 25'e bölersek:

    $2^a \cdot 3^b < 6$ olmalıdır.

    Şimdi $a$ ve $b$ için farklı değerler deneyerek 6'ya en yakın $2^a \cdot 3^b$ çarpımını bulalım:

    • $a=0, b=1 \implies 3^1 = 3 \implies N = 3 \cdot 25 = 75$. (Bu sayı 150'den küçüktür ve asal çarpanları 3 ve 5'tir.)
    • $a=1, b=0 \implies 2^1 = 2 \implies N = 2 \cdot 25 = 50$. (Bu sayı 150'den küçüktür ve asal çarpanları 2 ve 5'tir.)
    • $a=2, b=0 \implies 2^2 = 4 \implies N = 4 \cdot 25 = 100$. (Bu sayı 150'den küçüktür ve asal çarpanları 2 ve 5'tir.)
    • $a=1, b=1 \implies 2^1 \cdot 3^1 = 6$ (Bu $6 \not< 6$ olduğu için geçerli değildir.)

    Bu durumda bulduğumuz en büyük sayı 100'dür.

  • Durum 3: $c=3$ (yani sayıda üç tane 5 çarpanı var)

    Sayı $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^3$ şeklinde olacaktır.

    Koşulumuz $2^a \cdot 3^b \cdot 125 < 150$ idi. Her iki tarafı 125'e bölersek:

    $2^a \cdot 3^b < 150/125 = 1.2$ olmalıdır.

    Bu koşulu sağlayan tek değer $a=0, b=0$ için $2^0 \cdot 3^0 = 1$'dir. (Çünkü $a$ veya $b$ en az 1 olursa çarpım 1'den büyük olur.)

    $N = 1 \cdot 125 = 125$. (Bu sayı 150'den küçüktür ve asal çarpanı sadece 5'tir.)

    Bu durumda bulduğumuz en büyük sayı 125'tir.

• 4. Adım: Sonuçları Karşılaştırmak

  Farklı durumlarda bulduğumuz 150'den küçük en büyük sayılar şunlardır:

  • Durum 1'den: 135
  • Durum 2'den: 100
  • Durum 3'ten: 125

  Bu sayılar arasında en büyük olanı 135'tir.

Cevap B seçeneğidir.